[论文解读] Universal approach to deterministic spatial search via alternating quantum walks

Qing‐Wen Wang, Ying Jiang+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2023

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science被引用 3

一句话总结

本文提出了一种在各类图上实现确定性空间搜索的通用框架，通过交替使用连续时间量子行走与相位移位。该方法在约翰逊图 $J(n,k)$、车图、完全平方图以及完全二分图 $K(N_1,N_2)$ 上实现了 100% 的成功概率与二次加速，推广了先前的结果，并解决了交替相位行走搜索算法中确定性问题的开放难题。

ABSTRACT

Spatial search is an important problem in quantum computation, which aims to find a marked vertex on a graph. We propose a novel approach for designing deterministic quantum search algorithms on a variety of graphs via alternating quantum walks. Our approach is universal because it does not require an instance-specific analysis for different graphs. We highlight the flexibility of our approach by proving that for Johnson graphs, rook graphs, complete-square graphs and complete bipartite graphs, our quantum algorithms can find the marked vertex with $100\%$ success probability and achieve quadratic speedups over classical algorithms. This not only gives an alternative succinct way to prove the existing results, but also leads to new interesting findings on more general graphs.

研究动机与目标

• 开发一种适用于多种图类的通用方法，实现无需针对具体实例进行分析的确定性量子空间搜索。
• 解决在交替相位行走框架中实现确定性搜索的开放问题，此前该方法仅限于概率性算法。
• 将现有关于约翰逊图 $J(n,2)$、车图和星图的结果推广至更广泛的图类家族。
• 利用单一形式化体系，统一并简化对对称图上确定性搜索的证明。
• 将交替量子行走的适用范围扩展至完全二分图以及固定 $k$ 的高阶约翰逊图 $J(n,k)$。

提出的方法

• 该方法交替作用于两个哈密顿量：一个基于图的邻接矩阵（$e^{-iAt}$），另一个对标记顶点施加相位移位（$e^{-i\theta|m\rangle\langle m|}$）。
• 初始态为所有顶点的均匀叠加，算法在一系列精心选择的时间间隔内交替应用量子行走与标记顶点相位移位。
• 该框架利用图邻接矩阵的谱分解，识别出其中标记态能相干演化至完美态转移的不变子空间。
• 通过选择与 $\pi / \sqrt{N_1N_2}$ 成比例的演化时间，行走算符诱导出一种反射，从而实现对标记顶点的确定性收敛。
• 该方法使用广义版本的引理 1，确保通过 $O(\sqrt{N})$ 次操作实现精确态转移，从而实现确定性成功。
• 通过利用对称性与特征结构，该方法在各类图族中实现统一应用，避免了对每类图单独推导。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计出一种单一、通用的框架，在无需针对每类图单独分析的前提下，实现对多种图类的确定性量子空间搜索？
• RQ2 图的谱性质需满足何种条件，才能在交替量子行走下实现确定性态转移？
• RQ3 如何将交替相位行走框架扩展至任意固定 $k$ 的约翰逊图 $J(n,k)$，而不仅限于 $J(n,2)$？
• RQ4 能否通过该方法将此前在车图与完全二分图上仅具有概率性的算法完全转化为确定性算法？
• RQ5 在对称图上实现 100% 成功率的确定性搜索，最少需要多少次算符调用？

主要发现

• 所提出的算法在任意固定 $k$ 的约翰逊图 $J(n,k)$ 上均实现了 100% 的成功概率，成功找到标记顶点，推广了此前针对 $J(n,2)$ 的结果。
• 在车图与完全平方图上，该算法以 $O(\sqrt{N})$ 次搜索算符调用实现确定性搜索，达到理论上的量子加速极限。
• 在完全二分图 $K(N_1,N_2)$ 上，该算法使用 $O(\sqrt{N_1} + \sqrt{N_2})$ 次调用，渐近等价于 $O(\sqrt{N_1 + N_2})$，证实了二次加速。
• 该方法简化并统一了此前对星图与 $n \times m$ 车图的证明，涵盖了 Marsh 与 Wang (2021a,b) 以及 Qu 等人 (2022) 的研究成果。
• 该框架为交替相位行走空间搜索中实现完美态转移的开放问题提供了确定性解决方案，此前该问题仅能以概率性结果实现。
• 由于共享谱性质，该方法在对称图族中具有普遍适用性，使得单一形式化体系可适用于多种图类。