[论文解读] Universal lifting theorem and quasi-Poisson groupoids

David Iglesias Ponte, Camille Laurent-Gengoux+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用 10

一句话总结

本文建立了一个通用提升定理，将李代数胚上的多微分形式的分次李代数与其实其α-单连通且α-连通的李群胚上的可乘多向量场之间建立同构关系。该结果证明了拟李双胚对拟泊松群胚的积分，推广了已知的积分定理，并通过动量映射为扭曲泊松结构和哈密顿空间提供了统一的框架。

ABSTRACT

We prove the universal lifting theorem: for an $α$-simply connected and $α$-connected Lie groupoid $\gm$ with Lie algebroid $A$, the graded Lie algebra of multi-differentials on $A$ is isomorphic to that of multiplicative multi-vector fields on $\gm$. As a consequence, we obtain the integration theorem for a quasi-Lie bialgebroid, which generalizes various integration theorems in the literature in special cases. The second goal of the paper is the study of basic properties of quasi-Poisson groupoids. In particular, we prove that a group pair $(D, G)$ associated to a Manin quasi-triple $(\mathfrak d, \mathfrak g, \mathfrak h)$ induces a quasi-Poisson groupoid on the transformation groupoid $G imes D/G oto D/G$. Its momentum map corresponds exactly with the $D/G$-momentum map of Alekseev and Kosmann-Schwarzbach.

研究动机与目标

• 建立一个通用提升定理，将李代数胚上的多微分形式与李群胚上的可乘多向量场联系起来。
• 将现有李双胚积分定理推广至拟李双胚情形。
• 研究拟泊松群胚的结构与性质，特别是其与马林拟三元组的关系。
• 阐明拟泊松群胚的哈密顿空间与拟哈密顿G-空间之间的对应关系。
• 证明阿列克谢耶夫与科斯曼-施瓦茨巴赫的D/G-动量映射自然源自拟泊松群胚结构。

提出的方法

• 引入李代数胚上k-微分形式的概念，即满足分次莱布尼茨法则与雅可比恒等式的次数为k-1的导子。
• 定义李群胚上可乘k-向量场，并通过通用提升构造建立其与k-微分形式的对应关系。
• 利用A-路径与路径空间\widetilde{P}(A)将多向量场从李代数胚提升至群胚。
• 从马林拟三元组(\mathfrak{d}, \mathfrak{g}, \mathfrak{h})构造变换群胚G \times D/G \rightrightarrows D/G上的拟泊松群胚结构。
• 证明拟泊松群胚Γ = G \times D/G \rightrightarrows D/G的哈密顿Γ-空间的动量映射与阿列克谢耶夫与科斯曼-施瓦茨巴赫的D/G-动量映射完全一致。
• 验证哈密顿空间上双微分形式满足拟泊松条件\frac{1}{2}[\Pi_X, \Pi_X] = \hat{\Omega}。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过通用提升机制建立拟李双胚对拟泊松群胚的积分？
• RQ2 李群胚上的可乘多向量场与其实李代数胚上的多微分形式之间有何关系？
• RQ3 与马林拟三元组相关的变换群胚G \times D/G \rightrightarrows D/G的精确几何结构是什么？
• RQ4 阿列克谢耶夫与科斯曼-施瓦茨巴赫的D/G-动量映射是否可作为拟泊松群胚的动量映射自然出现？
• RQ5 拟泊松群胚的哈密顿空间与拟哈密顿G-空间之间是否存在一一对应关系？

主要发现

• 通用提升定理在李代数胚A上的多微分形式空间与其实α-单连通且α-连通的李群胚Γ上的可乘多向量场空间之间建立了分次李代数同构。
• 通过通用提升，实现了拟李双胚对拟泊松群胚的积分，推广了李双胚对泊松群胚的积分。
• 马林拟三元组(\mathfrak{d}, \mathfrak{g}, \mathfrak{h})在变换群胚G \times D/G \rightrightarrows D/G上诱导出拟泊松群胚结构。
• 该拟泊松群胚Γ = G \times D/G \rightrightarrows D/G的哈密顿Γ-空间的动量映射与阿列克谢耶夫与科斯曼-施瓦茨巴赫的D/G-动量映射完全一致。
• 具有动量映射J: X \to S的拟哈密顿G-空间等价于该拟泊松群胚Γ = G \times S \rightrightarrows S的哈密顿Γ-空间，其中群胚作用由J定义。
• 哈密顿Γ-空间上双微分形式Π_X满足\frac{1}{2}[\Pi_X, \Pi_X] = \hat{\Omega}，从而确认了拟泊松条件。