[论文解读] Universal Simulation of Hamiltonians Using a Finite Set of Control Operations

Paweł Wocjan, Martin Roetteler+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2001

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文证明，只要控制操作群在迹为零的算符上作用不可约，任何量子哈密顿量都可以通过有限个酉控制操作实现通用模拟。关键贡献是提出了一种类群理论判据——基于不可约伴随表示——从而利用平均哈密顿量技术实现对任意哈密顿量的通用模拟。

ABSTRACT

Any quantum system with a non-trivial Hamiltonian is able to simulate any other Hamiltonian evolution provided that a sufficiently large group of unitary control operations is available. We show that there exist finite groups with this property and present a sufficient condition in terms of group characters. We give examples of such groups in dimension 2 and 3. Furthermore, we show that it is possible to simulate an arbitrary bipartite interaction by a given one using such groups acting locally on the subsystems.

研究动机与目标

• 建立有限组酉控制操作实现任意量子哈密顿量通用模拟的条件。
• 解决当真实哈密顿量未知时，对哈密顿量上的任意线性映射进行模拟的问题。
• 证明在自旋-1/2和三态系统中，存在有限变换群可用于通用模拟。
• 将框架扩展至双粒子系统，实现仅通过局部控制操作和一个固定非平凡相互作用，模拟任意相互作用。
• 利用表示理论和群特征，对这类控制群提供群论表征。

提出的方法

• 将通用模拟形式化为通过交替自然演化 $ \exp(-iHt) $ 和快速酉控制 $ V_i $ 生成有效哈密顿量 $ \bar{H} = \sum_i \tau_i U_i^ op H U_i $。
• 引入“变换群”概念——即一组有限酉操作，其在迹为零算符上的伴随作用不可约。
• 利用群表示的特征理论，推导出有限群成为通用变换群的充分条件。
• 在维度 2 和 3 中，利用 SU(d) 的已知有限子群，构造此类群的显式例子。
• 证明若每个子系统上存在局部变换群，则任意具有非平凡局部项和耦合项的双粒子哈密顿量可模拟任意其他哈密顿量。
• 应用平均哈密顿量方法，模拟哈密顿量上的任意线性映射 $ L(H) $，包括逆变换和解耦。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有限酉控制操作集合可实现任意哈密顿量演化的通用模拟？
• RQ2 在何种群论条件下，有限酉群足以模拟哈密顿量上的任意线性映射？
• RQ3 是否可仅通过局部控制操作，使任意双粒子相互作用模拟其他任意相互作用？
• RQ4 模拟任意哈密顿量或反转未知哈密顿量所需的最小复杂度（操作数）是多少？
• RQ5 如何将平均哈密顿量形式化扩展至模拟哈密顿量的任意线性变换？

主要发现

• 有限酉操作群 $ G $ 可实现任意哈密顿量的通用模拟，当且仅当其在迹为零算符空间上的伴随作用不可约。
• 此类群的存在性由群特征上的一个条件表征：伴随表示的特征必须不可约。
• 在维度 2 和 3 中存在显式的有限变换群，使得在这些情况下可实现通用模拟。
• 对于 $ d $ 维系统，至少需要 $ d^2 $ 个操作才能关闭未知哈密顿量，且解耦的最小复杂度为 $ d^2 $，该复杂度由优良误差基实现。
• 对未知哈密顿量进行时间反演至少需要 $ d-1 $ 个操作，最多需要 $ d^2 - 1 $ 个操作，而一般模拟的复杂度下界为 $ d^2 - 1 $。
• 在双粒子系统中，若每个子系统上存在局部变换群，则任意具有非零局部项和耦合项的非平凡相互作用 $ H $ 可模拟任意其他哈密顿量 $ \tilde{H} $。