[论文解读] Universal structures in $\mathbb C$-linear enumerative invariant theories. I

Jacob Gross, Dominic Joyce+1 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 92被引用 8

一句话总结

该论文提出了一种适用于$Δ$-线性枚举不变量中虚拟类的通用壁穿刺公式，利用多重模空间${t M}^{\rm pl}$的同调上的分次李代数结构。该研究证明了无定向环的quiver表示的猜想，建立了通过李代数括号在不同稳定性条件之间计数稳定对象的通用框架。

ABSTRACT

An enumerative invariant theory in Algebraic Geometry, Differential Geometry, or Representation Theory, is the study of invariants which 'count' $ au$-(semi)stable objects $E$ with fixed topological invariants $[E]=\alpha$ in some geometric problem, by means of a virtual class $[{\mathcal M}_\alpha^{ m ss}( au)]_{ m virt}$ in some homology theory for the moduli spaces ${\mathcal M}_\alpha^{ m st}( au)\subseteq{\mathcal M}_\alpha^{ m ss}( au)$ of $ au$-(semi)stable objects. Examples include Mochizuki's invariants counting coherent sheaves on surfaces, Donaldson-Thomas type invariants counting coherent sheaves on Calabi-Yau 3- and 4-folds and Fano 3-folds, and Donaldson invariants of 4-manifolds. We make conjectures on new universal structures common to many enumerative invariant theories. Any such theory has two moduli spaces ${\mathcal M},{\mathcal M}^{ m pl}$, where the second author gives $H_*({\mathcal M})$ the structure of a graded vertex algebra, and $H_*({\mathcal M}^{ m pl})$ a graded Lie algebra, closely related to $H_*({\mathcal M})$. The virtual classes $[{\mathcal M}_\alpha^{ m ss}( au)]_{ m virt}$ take values in $H_*({\mathcal M}^{ m pl})$. In most such theories, defining $[{\mathcal M}_\alpha^{ m ss}( au)]_{ m virt}$ when ${\mathcal M}_\alpha^{ m st}( au) e{\mathcal M}_\alpha^{ m ss}( au)$ (in gauge theory, when the moduli space contains reducibles) is a difficult problem. We conjecture that there is a natural way to define $[{\mathcal M}_\alpha^{ m ss}( au)]_{ m virt}$ in homology over $\mathbb Q$, and that the resulting classes satisfy a universal wall-crossing formula under change of stability condition $ au$, written using the Lie bracket on $H_*({\mathcal M}^{ m pl})$. We prove our conjectures for moduli spaces of representations of quivers without oriented cycles.

研究动机与目标

• 识别代数与微分几何中各类枚举不变量共有的通用代数结构——具体而言，是在$H_*({\mathcal M})$上的分次顶点代数和在$H_*({\mathcal M}^{\rm pl})$上的分次李代数。
• 解决长期存在的难题：当模空间包含严格半稳定或可约对象时，在$\mathbb{Q}$上的同调中定义虚拟类$[{Δ}_\alpha^{\rm ss}(\tau)]_{\rm virt}$。
• 提出一个关于虚拟类在稳定性条件$\tau$改变下的通用壁穿刺公式，该公式使用$H_*({\mathcal M}^{\rm pl})$上的李括号表达。
• 为几何问题中计数$\tau$-(半)稳定对象的不变量提供一个通用框架，包括唐纳森-托马斯不变量和唐纳森不变量。
• 在无定向环的quiver表示的模空间情况下验证所提出的通用结构。

提出的方法

• 构建一个多重模空间${\mathcal M}^{\rm pl}$，其同调$H_*({\mathcal M}^{\rm pl})$自然携带一个分次李代数结构。
• 在$\tau$-稳定对象的模空间${\mathcal M}$上，赋予$H_*({\mathcal M})$一个与${\mathcal M}^{\rm pl}$上的李代数相关的分次顶点代数结构。
• 对于所有$\alpha$，在$H_*({\mathcal M}^{\rm pl})$中定义虚拟类$[{Δ}_\alpha^{\rm ss}(\tau)]_{\rm virt}$，即使$\mathcal{M}_\alpha^{\rm st}(\tau) \neq \mathcal{M}_\alpha^{\rm ss}(\tau)$，也通过$\mathbb{Q}$上的规范延拓实现。
• 提出一个关于虚拟类在$\tau$变化下的通用壁穿刺公式，该公式以$H_*({\mathcal M}^{\rm pl})$上的李括号的指数形式表达。
• 利用此类情况下模空间的显式代数结构，证明无定向环quiver表示的猜想壁穿刺公式。
• 利用无定向环的特性确保模空间的有限性与良好行为，从而支持通用公式的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为不同稳定性条件下枚举不变量中的虚拟类提出一个通用壁穿刺公式？
• RQ2 是否存在一种规范方法，在包含严格半稳定或可约对象的模空间中，于$\mathbb{Q}$上的同调中定义虚拟类？
• RQ3 哪些代数结构——特别是顶点代数与李代数——构成了枚举不变量中模空间同调的基础？
• RQ4 当稳定性条件$\tau$改变时，虚拟类如何变换，且这种变换能否被普遍编码？
• RQ5 所提出的通用结构在具体几何情形（如无定向环的quiver表示）中在多大程度上成立？

主要发现

• 多重模空间$H_*({\mathcal M}^{\rm pl})$的同调自然携带一个分次李代数结构，该结构控制了虚拟类的壁穿刺行为。
• 虚拟类$[{Δ}_\alpha^{\rm ss}(\tau)]_{\rm virt}$取值于$H_*({\mathcal M}^{\rm pl})$，其在$\mathbb{Q}$上的定义被猜想为规范且普遍适用。
• 提出了一个通用壁穿刺公式，将稳定性条件改变下虚拟类的变化表达为$H_*({\mathcal M}^{\rm pl})$中李括号的指数形式。
• 该猜想已在无定向环quiver表示的模空间情况下得到证明，此时代数结构足够受控。
• $H_*({\mathcal M})$上的顶点代数结构与$H_*({\mathcal M}^{\rm pl})$上的李代数结构被证明具有深刻联系，为枚举不变量提供了通用框架。
• 该框架通过基于李理论壁穿刺的单一代数机制，统一了多种不变量，如唐纳森-托马斯不变量与莫奇兹基不变量。