[论文解读] Universal Topological Data for Gapped Quantum Liquids in Three Dimensions and Fusion Algebra for Non-Abelian String Excitations

Heidar Moradi, Xiao-Gang Wen|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Apr 17, 2014

Quantum optics and atomic interactions被引用 5

一句话总结

本文提出，通过空间变换下基态波函数重叠所编码的普遍拓扑数据，可完全表征三维无隙量子液体中的拓扑序。通过研究在三环面上的 $SL(3,\mathbb{Z})$ 表示，表明通过维度约化至二维可揭示非阿贝尔弦激发的统计性质，将二维模 $S$ 和 $T$ 矩阵推广至高维。

ABSTRACT

Recently we conjectured that a certain set of universal topological quantities characterize topological order in any dimension. Those quantities can be extracted from the universal overlap of the ground state wave functions. For systems with gapped boundaries, these quantities are representations of the mapping class group $MCG(\mathcal M)$ of the space manifold $\mathcal M$ on which the systems lives. We will here consider simple examples in three dimensions and give physical interpretation of these quantities, related to fusion algebra and statistics of particle and string excitations. In particular, we will consider dimensional reduction from 3+1D to 2+1D, and show how the induced 2+1D topological data contains information on the fusion and the braiding of non-Abelian string excitations in 3D. These universal quantities generalize the well-known modular $S$ and $T$ matrices to any dimension.

研究动机与目标

• 建立一个通用框架，利用从基态波函数重叠中导出的普遍拓扑数据，表征任意维度中的拓扑序。
• 研究在三环面上 $SL(3,\mathbb{Z})$ 表示的物理意义，将其解释为三维无隙量子液体拓扑不变量的编码。
• 展示通过一个空间维度的紧化，从三维到二维的维度约化如何揭示非阿贝尔弦激发的融合与编织统计性质。
• 证明 $SL(3,\mathbb{Z})$ 表示分解为 $SL(2,\mathbb{Z})$ 子表示时，编码了涌现二维任意子的完整拓扑数据。
• 利用 $S^2 \times S^1$ 和 $T^3$ 上的拓扑简并度，推导规范场论模型中粒子与弦种类的数量。

提出的方法

• 计算三环面 $T^3$ 的自同构 $A$ 下的普遍拓扑重叠 $\langle \psi_\alpha | \hat{\mathcal{O}}_A | \psi_\beta \rangle = e^{-\alpha V + o(1/V)} M^{A}_{\alpha\beta}$，从而获得 $SL(3,\mathbb{Z})$ 表示。
• 利用映射类群 $\texttt{MCG}(T^3) = SL(3,\mathbb{Z})$ 定义对局部微扰鲁棒的拓扑不变量。
• 通过紧化一个空间维度实现维度约化，将三维拓扑序 $\mathcal{C}^{3D}$ 映射为二维拓扑序 $\mathcal{C}^{2D}_i$ 的直和。
• 通过将 $SL(3,\mathbb{Z})$ 表示限制到 $SL(2,\mathbb{Z})$ 子群，提取二维拓扑数据，得到分支规则 $R^{3D} = \bigoplus_i R^{2D}_i$。
• 通过 $S^2 \times S^1$ 上的拓扑简并度识别粒子种类，其中简并基态数量等于规范群 $G$ 的共轭类数。
• 将三维中的弦与粒子统计与通过维度约化获得的二维任意子数据联系起来，包括非阿贝尔编织与融合规则。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从空间变换下基态波函数重叠中提取三维无隙量子液体中的普遍拓扑不变量？
• RQ2 在三环面上，映射类群的 $SL(3,\mathbb{Z})$ 表示在粒子与弦激发方面的物理意义是什么？
• RQ3 通过一个空间维度的紧化，从三维到二维的维度约化如何揭示三维中非阿贝尔弦激发的融合与编织统计性质？
• RQ4 $SL(3,\mathbb{Z})$ 表示分解为 $SL(2,\mathbb{Z})$ 子表示与涌现二维任意子的拓扑数据之间存在何种关系？
• RQ5 如何通过特定流形（如 $S^2 \times S^1$）上的拓扑简并度，确定规范场论中粒子与弦种类的数量？

主要发现

• $SL(3,\mathbb{Z})$ 在三环面 $T^3$ 上的表示编码了三维无隙量子液体的普遍拓扑数据，其生成元 $\hat{\tilde{S}}$ 与 $\hat{\tilde{T}}$ 分别对应于环面循环的循环置换与剪切变换。
• 三维拓扑序 $\mathcal{C}_G^{3D}$ 经维度约化为二维后，对阿贝尔群 $G = \mathbb{Z}_N$ 有 $\mathcal{C}_G^{3D} = \bigoplus_{n=1}^{|G|} \mathcal{C}_G^{2D}$，对非阿贝尔群 $G$ 有 $\mathcal{C}_G^{3D} = \bigoplus_C \mathcal{C}_{G_C}^{2D}$，其中 $C$ 遍历共轭类。
• $SL(3,\mathbb{Z})$ 表示分解为 $SL(2,\mathbb{Z})$ 子表示的分支规则，编码了阿贝尔群的完整三弦统计性质，推广了二维模 $S$ 与 $T$ 矩阵。
• 有限群 $G$ 规范理论中粒子种类的数量等于 $G$ 的共轭类数，该结果由 $S^2 \times S^1$ 上的拓扑简并度确定。
• $SL(3,\mathbb{Z})$ 的 $\tilde{T}$ 生成元虽仅通过基态重叠计算，却包含了粒子与弦激发统计的信息。
• 三维中非阿贝尔弦激发的融合与编织规则，可从通过维度约化获得的二维拓扑序数据中提取。