[论文解读] Variation of singular Kähler-Einstein metrics: positive Kodaira dimension

Junyan Cao, Henri Guenancia+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用 5

一句话总结

该论文证明，在扭转当前的 Lelong 数为零的条件下，具有通解型纤维的凯勒纤维丛上的纤维wise 奇点凯勒爱因斯坦度量会诱导相对典范丛 $K_{X/Y}$ 上一个正曲率度量。该结果证实了在 Lelong 数为零情形下关于相对扭转凯勒爱因斯坦度量的猜想，并通过 Song-Tian 的典范度量理论将该理论推广至中间 Kodaira 维数的情形。

ABSTRACT

Given a Kähler fiber space $p:X o Y$ whose generic fiber is of general type, we prove that the fiberwise singular Kähler-Einstein metric induces a semipositively curved metric on the relative canonical bundle $K_{X/Y}$ of $p$. We also propose a conjectural generalization of this result for relative twisted Kähler-Einstein metrics. Then we show that our conjecture holds true if the Lelong numbers of the twisting current are zero. Finally, we explain the relevance of our conjecture for the study of fiber-wise Song-Tian metrics (which represent the analogue of KE metrics for fiber spaces whose generic fiber has positive but not necessarily maximal Kodaira dimension).

研究动机与目标

• 建立由纤维wise 奇点凯勒爱因斯坦度量诱导的相对典范丛 $K_{X/Y}$ 上度量的正性。
• 提出并验证关于具有零 Lelong 数曲率当前的相对扭转凯勒爱因斯坦度量的猜想。
• 将 Song-Tian 的典范度量理论推广至具有正但非最大 Kodaira 维数的纤维丛。
• 证明相对 Iitaka 纤维丛底空间上的典范度量为正，并可自然延拓。
• 通过全纯势论与逼近技巧，统一奇点 KE 度量在不同 Kodaira 维数下的行为。

提出的方法

• 利用全纯势论与逼近技巧处理具有受控曲率当前的奇点度量。
• 应用通解型纤维上奇点凯勒爱因斯坦度量的理论，确保纤维上度量的存在性与唯一性。
• 通过 Lelong 数为零的条件控制奇点，并确保度量在奇点集上的延拓。
• 将一般猜想约化为曲率当前由系数在 (0,1) 内的简单法向交截除子与光滑形式构成的情形。
• 利用相对 Iitaka 纤维丛的典范度量及其双有理模型分析底空间的曲率。
• 应用关于全纯线丛与闭正当前已知结果，确保度量的典范延拓。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有通解型纤维的凯勒纤维丛上，纤维wise 奇点凯勒爱因斯坦度量是否会在相对典范丛 $K_{X/Y}$ 上诱导出正曲率度量？
• RQ2 当扭转当前的 Lelong 数为零时，关于相对扭转凯勒爱因斯坦度量的猜想是否可被验证？
• RQ3 Song-Tian 的典范度量在相对 Iitaka 纤维丛底空间上，对中间 Kodaira 维数的纤维如何表现？
• RQ4 在何种条件下，底空间上的典范度量可作为闭正当前在奇点处延拓？
• RQ5 在非 ample 情形下，通过奇点 KE 度量在多大程度上可恢复全纯线丛直接像的正性？

主要发现

• 当扭转当前的 Lelong 数为零时，由纤维wise 奇点凯勒爱因斯坦度量诱导的 $K_{X/Y}$ 上的度量具有正曲率。
• 在零 Lelong 数条件下，关于相对扭转凯勒爱因斯坦度量的猜想成立，确认了向一般化推进的关键一步。
• 相对 Iitaka 纤维丛底空间上的典范度量为正，并可典范地延拓为整个底空间上的闭正当前。
• 结果证实，奇点 KE 度量的度量结构与正 Kodaira 维数下相对典范丛的几何相容。
• 证明依赖于全纯势论中的深刻逼近结果，将一般情形约化为具有简单法向交截除子与系数在 (0,1) 内的模型情形。
• 该框架通过统一的度量论方法，将最大与中间 Kodaira 维数情形下典范度量的行为统一起来。