[论文解读] Virtual pull-backs

Cristina Manolache|arXiv (Cornell University)|May 14, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文将虚拟拉回（virtual pull-backs）引入为带有完美相对障碍理论的代数堆栈的DM型态射的Gysin映射的一般化。它建立了函子性性质，并将该框架应用于计算爆破和射影丛的格罗莫夫-威滕不变量。

ABSTRACT

We propose a generalization of Gysin maps for DM-type morphisms of stacks $F o G$ that admit a perfect relative obstruction theory $E_{F/G}^{\bullet}$, which we call a pull-back. We prove functoriality properties of virtual pull-backs. As applications, we analyze Gromov-Witten invariants of blow-ups and projective bundles.

研究动机与目标

• 通过虚拟拉回将Gysin映射推广至带有完美相对障碍理论的堆栈的DM型态射。
• 在复合与基变换下，建立虚拟拉回的函子性性质。
• 为计算涉及爆破和射影丛的几何情形下的格罗莫夫-威滕不变量，提供一个框架。
• 将交点理论技术扩展至具有完美相对障碍理论的堆栈。

提出的方法

• 通过DM型态射 $F \to G$ 上的完美相对障碍理论 $E_{F/G}^{\bullet}$ 定义虚拟拉回。
• 利用虚拟类理论，在查尔斯群上构造虚拟拉回映射。
• 通过完美障碍理论背景下的基变换与复合公式，证明函子性。
• 通过形变理论技术，将形式化应用于计算爆破与射影丛上的虚拟类。
• 在堆设置下，利用多余交公式与虚拟法丛构造。
• 利用虚拟拉回与诸如上推与交积等运算的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Gysin映射推广至具有完美相对障碍理论的堆栈的DM型态射？
• RQ2 虚拟拉回在基变换与复合下满足何种函子性性质？
• RQ3 如何利用虚拟拉回计算堆栈爆破的格罗莫夫-威滕不变量？
• RQ4 在具有完美障碍理论的堆栈上构造的射影丛上的虚拟类具有何种结构？
• RQ5 虚拟拉回形式化能否解决枚举几何中的几何不变量？

主要发现

• 对于配备有完美相对障碍理论 $E_{F/G}^{\bullet}$ 的DM型态射 $F \to G$，虚拟拉回是良定义的。
• 虚拟拉回满足基变换公式，确保与纤维积的相容性。
• 该构造在态射复合下是函子性的，从而推广了经典Gysin映射。
• 该形式化使得能够显式计算堆栈爆破的格罗莫夫-威滕不变量。
• 虚拟拉回为计算堆栈上射影丛的虚拟类提供了系统性方法。
• 结果将经典交点论工具推广至具有障碍理论的代数堆栈设置。