[论文解读] Viscosity Solutions of Path-Dependent PDEs and Non-Markovian Forward-Backward Stochastic Equations

Andrea Cosso|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文通过非马氏后前向随机微分方程（FBSDEs）建立了一类非线性费曼-卡茨表示，用于半线性路径依赖型偏微分方程（PPDEs），并扩展了先前结果，去除了扩散系数的非退化性假设。在广义粘性解框架下，证明了此类FBSDE的解可成为对应路径依赖型PPDE的粘性解，且通过扩展概率空间方法得出了唯一性与比较性结果。

ABSTRACT

It is known that Markovian forward-backward stochastic differential equations provide nonlinear Feynman-Kac representation formulae for semilinear parabolic PDEs. We show that non-Markovian forward-backward stochastic differential equations provide nonlinear Feynman-Kac formulae for semilinear path-dependent PDEs. This extends the result proved in Ekren, Keller, Touzi, and Zhang [4] to the case with a possibly degenerate diffusion coefficient in the forward dynamics.

研究动机与目标

• 将非线性费曼-卡茨表示推广至使用非马氏FBSDEs的半线性路径依赖型PPDEs。
• 去除先前工作中对扩散系数 σσᵀ > 0 的非退化性假设要求。
• 建立FBSDE解为关联路径依赖型PPDE的粘性解的理论。
• 通过扩展概率空间技术，证明粘性解的唯一性与比较性。
• 将粘性解框架推广至超越半线性情形的完全非线性抛物型PPDEs。

提出的方法

• 采用Ekren、Touzi与Zhang（2014）提出的路径依赖型PPDE的粘性解定义，将经典极小/极大条件替换为非线性期望下的最优停时条件。
• 利用函数型伊藤微积分定义随机场 v(t,ω) = Ytt,x 的路径导数 ∂tv、∂ωv 与 ∂ωω²v。
• 采用扩展概率空间 (Ωd+n, Fd+nT, P₀d+n) 将前向过程与布朗运动视为独立，从而实现对退化扩散的分析。
• 应用文献[7]中的定理3.4，在前向系数假设更宽松的条件下，建立粘性解的比较性与唯一性。
• 通过识别包含泛函导数与漂移/扩散系数的生成器，从非马氏FBSDE中形式推导出路径依赖型PPDE。
• 利用表示式 Ytt,x = v(t,x) 将FBSDE解与PPDE的粘性解联系起来，其中终端条件为 v(T,x) = g(x)。

实验结果

研究问题

• RQ1 当扩散系数退化时，非马氏FBSDE是否仍能为半线性路径依赖型PPDE提供粘性解？
• RQ2 Ekren等人的粘性解框架是否可推广至无需 σσᵀ > 0 假设的退化情形？
• RQ3 在前向系数假设更弱的条件下，如何建立路径依赖型PPDE粘性解的比较原理？
• RQ4 即使扩散项非平方且非非退化，是否仍可证明非马氏FBSDE的解在粘性意义下满足路径依赖型PPDE？
• RQ5 通过扩展概率空间方法，退化情形下粘性解的唯一性是否仍可保持？

主要发现

• 即使扩散系数 σ 非平方且非非退化，非马氏FBSDE的解仍可定义为半线性路径依赖型PPDE的粘性解。
• 本文证明了随机场 v(t,x) = Ytt,x 在广义粘性解定义下，是具有终端条件 v(T,x) = g(x) 的路径依赖型PPDE的粘性解。
• 通过文献[7]中的定理3.4，在 UCb(Λd+n) 中建立了粘性解的唯一性，该定理在本文假设下成立，包括常数 b 与 σ 的情形。
• 在给定假设下，粘性次解与超解的比较原理成立，确保若终端条件满足不等式，则有界粘性次解被有界粘性超解控制。
• 通过将概率空间扩展，可将前向过程与布朗运动视为在更大空间上的独立过程，从而实现对退化扩散的处理。
• 所导出的路径依赖型PPDE包含泛函导数 ∂tv、∂ωv 与 ∂ωω²v，且生成器包含漂移、扩散与驱动项 f，确认了FBSDE与PPDE之间的形式联系。