[论文解读] WDVV-Type Relations for Disk Gromov-Witten Invariants in Dimension 6

Xujia Chen, Aleksey Zinger|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文在具有特定对称性的实 symplectic 六流形中建立了 disk Gromov-Witten 不变量的 WDVV 型关系，将先前在四流形中的结果推广至六流形。通过将实稳定曲线模空间的同调关系上拉至稳定映射模空间，并对群对称性进行平均，作者推导出微分方程，将 Welschinger 不变量的计算归约为低度不变量，并为具有正维插入项的实有理曲线计数提供了有效下界，尤其确认并扩展了 Alcolado 对 $\mathbb{P}^3$ 的预测。该框架与 Kollár 在 $\mathbb{P}^3$ 中的消去结果一致，且不依赖于 linking 数，与早期猜想不同。

ABSTRACT

The first author's previous work established Solomon's WDVV-type relations for Welschinger's invariant curve counts in real symplectic fourfolds by lifting geometric relations over possibly unorientable morphisms. We apply her framework to obtain WDVV-style relations for the disk invariants of real symplectic sixfolds with some symmetry, in particular confirming Alcolado's prediction for $\mathbb{P}^3$ and extending it to other spaces. These relations reduce the computation of Welschinger's invariants of many real symplectic sixfolds to invariants in small degrees and provide lower bounds for counts of real rational curves with positive-dimensional insertions in some cases. In the case of $\mathbb{P}^3$, our lower bounds fit perfectly with Kollár's vanishing results.

研究动机与目标

• 将 Solomon 在实 symplectic 四流形中对 Welschinger 不变量的 WDVV 型关系推广至具有对称性的六流形。
• 通过系统框架确认并推广 Alcolado 对 $\mathbb{P}^3$ 的预测至其他实 symplectic 六流形。
• 通过生成函数上的结构常微分方程，将 Welschinger 不变量的计算归约为低次不变量。
• 为实代数三流形中具有正维插入项的实有理曲线计数提供有效下界。
• 通过在有限对称群上取平均并分解为实与复不变量，消除曲线计数中的约束依赖性。

提出的方法

• 通过边界 cobordism 将模空间 $\mathbb{R}\overline{\mathcal{M}}_{0,1,2}$ 和 $\mathbb{R}\overline{\mathcal{M}}_{0,0,3}$ 上的零维与一维同调关系上拉至稳定映射模空间。
• 应用截断构造 $\widehat{\mathfrak{M}}_{k,l;l^*}(B;J)$ 以解决遗忘态射中的定向障碍。
• 如定义 1.2 所示，利用群平均来消除对特定曲线约束的依赖性。
• 通过命题 5.6 和 5.7 将平均后的不变量分解为对应于不可约实曲线与复曲线的分量。
• 推导出生成函数的两个 WDVV 风格常微分方程（1.19）与（1.20），分别对应 disk 与复 Gromov-Witten 不变量。
• 在模空间上使用相对定向与度数计算，定义具有指定插入项的曲线的带符号计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在六维情形下，Welschinger 不变量是否存在 WDVV 型关系？若存在，其形式为何？
• RQ2 能否通过系统性框架确认并推广 Alcolado 对 $\mathbb{P}^3$ 的预测至其他实 symplectic 六流形？
• RQ3 对称性平均如何消除 disk Gromov-Witten 不变量中的约束依赖性？
• RQ4 在实代数三流形中，对具有正维插入项的实有理曲线计数，可建立何种下界？
• RQ5 所导出的生成函数常微分方程如何将不变量计算归约为低次度？

主要发现

• 本文通过推导两个 WDVV 风格常微分方程（1.19）与（1.20），确认了 Alcolado 对 $\mathbb{P}^3$ 的预测，其形式与 [1] 中的方程一致，但对一般空间进行了结构修正。
• 方程（1.19）与（1.20）实现了对 disk 不变量的完全约化，归约为低次不变量，从而实现有效计算。
• 在 $\mathbb{P}^3$ 中，所推导的实三次曲线计数下界与 Kollár 的消去结果一致，验证了该框架的有效性。
• 该方法在 [12] 所排除的情形之外，为所有情况提供了非平凡的实三次曲线计数下界，如表 1 中粗体所示。
• 该框架不依赖 linking 数，与 [17] 中的早期猜想不同，且在固定约束下，即使目标无对称性假设，亦可适用。
• 平均后的不变量可清晰分解为实曲线与复曲线计数，借助命题 5.6 与 5.7 实现 Welschinger 不变量的结构性分解。