[论文解读] Weak calculus of variations for functionals of laws of semi-martingales

Ana Bela Cruzeiro, Rémi Lassalle|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文为连续半鞅的规律函数泛函发展了一套非预测性变分法，将哈密顿的最小作用量原理和诺特定理推广至随机设定。它建立了随机欧拉-拉格朗日条件，并在较弱的正则性条件下识别出半鞅最优传输问题中临界点的不变量。

ABSTRACT

We develop a non-anticipating calculus of variations for functionals on a space of laws of continuous semi-martingales, which extends the classical one. We extend Hamilton's least action principle and Noether's theorem to this generalized stochastic framework. As an application we obtain, under mild conditions, a stochastic Euler-Lagrange condition and invariants for the critical points of recent problems in stochastic control, namely for the semi-martingale optimal transportation problems.

研究动机与目标

• 为定义在连续半鞅规律上的泛函制定一种弱变分法，扩展经典变分法。
• 通过将临界点表征为随机作用泛函的解，将哈密顿最小作用量原理推广至随机框架。
• 将诺特定理推广至随机动力学，将拉格朗日的对称性与以鞅形式表示的守恒律联系起来。
• 将该框架应用于半鞅最优传输问题，在较弱条件下识别临界过程与不变量。
• 建立涉及相对熵与联合边缘约束的随机控制中变分问题的解的存在性与唯一性。

提出的方法

• 引入一个空间 $\mathbb{S}$，其包含具有绝对连续二次变差的连续半鞅的规律，由漂移 $v_t^\nu$ 和扩散系数 $\alpha_t^\nu$ 参数化。
• 将随机欧拉-拉格朗日条件定义为 $\partial_v \mathcal{L}_t(W_t, v_t^\nu, \alpha_t^\nu) - \int_0^t \partial_x \mathcal{L}_s(W_s, v_s^\nu, \alpha_s^\nu) ds = N_t^\nu$，其中 $N^\nu$ 是 $\mathcal{F}_t^\nu$-鞅。
• 通过定义随机作用泛函 $\mathcal{S}(\nu) = \mathbb{E}_\nu[\int_0^1 \mathcal{L}_s(W_s, v_s^\nu, \alpha_s^\nu) ds]$，扩展哈密顿原理，临界性通过非预测变分定义。
• 应用于格里森定理与克拉克-奥孔公式，表征与维纳测度等价的测度，从而构造变分问题的解。
• 利用相对熵 $\mathcal{H}(\nu|\mu_{\nu_0}) = \mathbb{E}_\nu[\ln \frac{d\nu}{d\mu_{\nu_0}}]$ 重述最小化问题，并通过紧致性与严格凸性证明最小化子的存在性。
• 应用费曼-卡茨公式与伊藤引理，验证由满足纳维-斯托克斯方程的漂移驱动的随机微分方程的解，其生成的测度属于解类 $G_V(\mathbb{R}^d)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典变分法扩展至定义在半鞅规律上的泛函？
• RQ2 在非预测随机框架中，表征临界点的随机欧拉-拉格朗日方程的对应物是什么？
• RQ3 诺特定理能否推广至随机拉格朗日量？相关的守恒律以何种形式呈现？
• RQ4 在半鞅最优传输中，变分问题的最小化子在何种条件下存在，特别是涉及相对熵时？
• RQ5 能否通过随机欧拉-拉格朗日方程及拉格朗日的对称性不变性来表征随机控制问题的解？

主要发现

• 当 $\nu = \delta_{q}$ 对于 $C^2$ 路径 $q$ 时，随机欧拉-拉格朗日条件退化为经典欧拉-拉格朗日方程。
• 随机作用泛函 $\mathcal{S}(\nu)$ 的临界点由包含鞅项 $N_t^\nu$ 的随机欧拉-拉格朗日条件表征。
• 对于拉格朗日量 $\mathcal{L}^0 = \frac{|v|^2}{2}$，在固定初末分布下，相对熵 $\mathcal{H}(\nu|\mu_{\nu_0})$ 的最小化器唯一，且属于 $\mathbb{S}_B \cap \mathbb{S}_\gamma$。
• 熵最小化问题的解 $\nu^\star$ 满足 $\mathcal{H}(\nu^\star|\mu_{\nu_0}) = \mathbb{E}_\nu[\int_0^1 \frac{|v_s^\nu|^2}{2} ds]$，将随机控制与能量最小化联系起来。
• 在 $G_0(\mathbb{R})$ 中存在多个测度，其 $W_0$ 与 $W_1$ 的联合分布相同且熵有限，表明即使对于标准布朗运动拉格朗日量，解也非唯一。
• 不可压缩纳维-斯托克斯方程的解可生成漂移 $u$，使得经吉林森变换后的测度 $\nu$ 满足具有势函数 $V = p(1-t,x)$ 的随机欧拉-拉格朗日条件。