[论文解读] Weak Functional Itô Calculus and Applications

Alberto Ohashi, Dorival Leão+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 51被引用 9

一句话总结

本文为多维布朗运动过滤中的适应过程发展了一套弱函数 Itô 微积分，以受控点过程跳跃的有限维近似取代马尔可夫性。它为维纳泛函建立了基本微积分规则，将零随机导数识别为非马尔可夫型的二阶微分算子，并使非半鞅最优停时问题的变分原理与动态规划成为可能。

ABSTRACT

We introduce a variational theory for processes adapted to the multi-dimensional Brownian motion filtration. The theory provides a differential structure which describes the infinitesimal evolution of Wiener functionals at very small scales. The Markov property is replaced by a finite-dimensional approximation procedure based on controlled inter-arrival times and jumps of approximating martingales. The theory reveals that a large class of adapted processes follow a differential rule which is similar in nature to a fundamental theorem of calculus in the context of Wiener functionals. Null stochastic derivative term turns out to be a non-Markovian version of the classical second order parabolic operator and connections with theory of local-times and $(p,q)$-variation regularity are established. The framework extends the pathwise functional calculus and it opens the way to obtain variational principles for processes. Applications to semi-linear variational equations and stochastic variational inequalities are presented. In particular, we provide a feasible dynamic programming principle for fully non-Markovian/non-semimartingale optimal stopping problems.

研究动机与目标

• 为多维布朗运动过滤中的适应过程发展变分微积分。
• 通过受控到达时间间隔与鞅跳跃，以有限维近似取代马尔可夫性。
• 在小尺度上为维纳泛函建立微分结构，类似于微积分基本定理。
• 将零随机导数识别为经典二阶抛物型算子的非马尔可夫型类比。
• 扩展路径无关函数微积分，使随机过程的变分原理成为可能。

提出的方法

• 通过受控到达时间间隔对过滤进行有限维近似，形式化适应过程的微分结构。
• 利用具有跳跃的逼近鞅来建模维纳泛函的无穷小微分演化。
• 定义一种弱函数 Itô 微积分，推广路径无关方法并容纳非半鞅过程。
• 引入一个零随机导数项，对应于非马尔可夫型的二阶微分算子。
• 建立该微积分与本地时及 (p,q)-变分正则性之间的联系。
• 将该框架应用于推导半线性方程与随机变分不等式的变分原理。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为非马尔可夫型维纳泛函建立微积分基本定理？
• RQ2 在非马尔可夫设置中，零随机导数起什么作用？它与经典二阶微分算子有何关系？
• RQ3 能否为非半鞅过程推导出变分原理？
• RQ4 如何为完全非马尔可夫型最优停时问题制定动态规划？
• RQ5 所提出的微积分与本地时或 (p,q)-变分正则性之间有何联系？

主要发现

• 弱函数 Itô 微积分为维纳泛函提供了微分规则，其在非马尔可夫背景下推广了经典 Itô 公式。
• 零随机导数项对应于经典二阶抛物型算子的非马尔可夫型版本。
• 该框架使半线性随机方程的变分原理得以推导。
• 证明了随机变分不等式可在该微积分框架内进行分析。
• 为完全非马尔可夫型与非半鞅型最优停时问题建立了可行的动态规划原理。
• 正式建立了与本地时及 (p,q)-变分正则性的联系，丰富了该微积分的分析结构。