[论文解读] Weak convergence rates for Euler-type approximations of semilinear stochastic evolution equations with nonlinear diffusion coefficients

Arnulf Jentzen, Ryan Kurniawan|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 73被引用 19

一句话总结

本文为带有非线性扩散系数的半线性随机演化方程（SEEs）的线性隐式欧拉型逼近建立了本质上精确的弱收敛速率，填补了文献中长期存在的空白。通过采用温和的伊藤公式并分析数值格式的半线性积分对应形式，作者在非线性项与噪声系数满足正则性与可积性条件的前提下，推导出最优收敛速率。

ABSTRACT

Strong convergence rates for time-discrete numerical approximations of semilinear stochastic evolution equations (SEEs) with smooth and regular nonlinearities are well understood in the literature. Weak convergence rates for time-discrete numerical approximations of such SEEs have been investigated since about 12 years and are far away from being well understood: roughly speaking, no essentially sharp weak convergence rates are known for time-discrete numerical approximations of parabolic SEEs with nonlinear diffusion coefficient functions; see Remark 2.3 in [A. Debussche, Weak approximation of stochastic partial differential equations: the nonlinear case, Math. Comp. 80 (2011), no. 273, 89-117] for details. In the recent article [D. Conus, A. Jentzen & R. Kurniawan, Weak convergence rates of spectral Galerkin approximations for SPDEs with nonlinear diffusion coefficients, arXiv:1408.1108] the weak convergence problem emerged from Debussche's article has been solved in the case of spatial spectral Galerkin approximations for semilinear SEEs with nonlinear diffusion coefficient functions. In this article we overcome the problem emerged from Debussche's article in the case of a class of time-discrete Euler-type approximation methods (including exponential and linear-implicit Euler approximations as special cases) and, in particular, we establish essentially sharp weak convergence rates for linear-implicit Euler approximations of semilinear SEEs with nonlinear diffusion coefficient functions. Key ingredients of our approach are applications of a mild It\^o type formula and the use of suitable semilinear integrated counterparts of the time-discrete numerical approximation processes.

研究动机与目标

• 解决抛物型半线性随机演化方程（SEEs）在具有非线性扩散系数时，其时间离散数值逼近缺乏本质上精确的弱收敛速率这一长期存在的问题。
• 克服Debussche（2011）中指出的开放问题，即对这类方程尚无此类速率的已知结果。
• 在具有非线性扩散的SPDE背景下，为线性隐式欧拉格式（包括指数型与线性隐式变体）建立最优弱收敛速率。
• 提供一个适用于广泛SPDE类的一般性框架，包括抛物型安德森模型与Cahn-Hilliard-Cook型方程。
• 通过弱误差的上下界推导，确认所获收敛速率的精确性。

提出的方法

• 应用一种温和的伊藤型公式，推导适用于具有非马氏与非线性结构的SPDE的随机微积分工具。
• 引入时间离散欧拉型格式的半线性积分对应形式，以分析弱误差的传播。
• 利用SPDE的强先验估计与扰动界，控制真实解与近似解的行为。
• 建立积分数值过程的弱时间正则性，以支持弱收敛分析。
• 结合方差估计与矩界，推导弱误差的下界，从而确认收敛速率的精确性。
• 采用形如 ϕ(v) = exp(−∥v∥²_H) 的测试函数，通过非线性泛函的期望分析弱收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有非线性扩散系数的半线性SPDE，其线性隐式欧拉型逼近的弱收敛速率是什么？
• RQ2 Debussche（2011）遗留的弱收敛问题在非线性扩散情况下，能否通过时间离散格式得以解决？
• RQ3 所推导的弱收敛速率是否本质上精确？能否通过下界确认？
• RQ4 非线性漂移与扩散系数的正则性与可积性如何影响弱收敛行为？
• RQ5 能否通过特定测试函数对弱误差进行下界估计？这是否能确认收敛速率的最优性？

主要发现

• 在适当的正则性与可积性条件下，本文为具有非线性扩散系数的半线性SPDE的线性隐式欧拉逼近建立了本质上精确的弱收敛速率，其阶为 h^(1/2 - ε)。
• 对于抛物型安德森模型与线性Cahn-Hilliard-Cook型方程，通过下界分析表明所推导的弱收敛速率是最优的。
• 通过测试函数 ϕ(v) = exp(−∥v∥²_H) 推导出弱误差的下界，表明误差下界为 h^(1/2 - 2δ) 的正倍数，其中 δ < 1/4。
• 在 (0,1) 上带有狄利克雷边界条件的拉普拉斯算子情形下，弱收敛速率为 h^(1/2 - 2δ)，δ < 1/4，且下界被显式量化为与 h^(1/2 - 2δ) 成正比，比例常数依赖于 T、δ 与初始数据。
• 分析结果表明，当 δ < 1/4 时，弱收敛速率无法优于 h^(1/2 - 2δ)，从而确立了上界估计的精确性。
• 该方法成功克服了具有非线性扩散的SPDE在弱收敛分析中的技术挑战，通过引入半线性积分数值过程并应用温和的伊藤微积分，实现了突破。