[论文解读] Weak error estimates of the exponential Euler scheme for semi-linear SPDEs without Malliavin calculus

Xiaojie Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用 5

一句话总结

本论文针对带有加性噪声的半线性随机偏微分方程（SPDEs）应用指数欧拉格式，提出了一种弱误差分析，通过一种新颖的弱误差表示公式避免了使用马尔可夫计算。关键贡献是在非线性项满足较弱假设的条件下，对结合谱伽辽金空间半离散化与指数欧拉时间积分的全离散格式，严格建立了阶数为一的弱收敛速率。

ABSTRACT

This paper deals with the weak error estimates of the exponential Euler method for semi-linear stochastic partial differential equations (SPDEs). A weak error representation formula is first derived for the exponential integrator scheme in the context of truncated SPDEs. The obtained formula that enjoys the absence of the irregular term involved with the unbounded operator is then applied to a parabolic SPDE. Under certain mild assumptions on the nonlinearity, we treat a full discretization based on the spectral Galerkin spatial approximation and provide an easy weak error analysis, which does not rely on Malliavin calculus.

研究动机与目标

• 为带有加性噪声的半线性SPDEs中的指数欧拉格式提供弱误差估计。
• 推导一种避免涉及无界算子A的不规则项的弱误差表示公式。
• 建立结合谱伽辽金空间半离散化与指数欧拉时间积分的全离散格式的弱收敛性。
• 避免依赖马尔可夫计算，后者通常用于处理非线性SPDEs中不规则项的分析。
• 在非线性项F具有较弱正则性假设的条件下，将分析扩展至抛物型SPDEs。

提出的方法

• 为截断SPDEs应用的指数欧拉格式推导弱误差表示公式，消除与无界算子A相关的不规则项。
• 将该公式应用于具有加性噪声的抛物型SPDEs，采用谱伽辽金空间半离散化。
• 采用变换后的柯尔莫哥洛夫方程方法，简化弱误差分析。
• 引入非线性项F的线性化技术，以促进误差估计。
• 运用伊tô公式与迹估计，控制由空间与时间离散化产生的误差项。
• 利用对F的假设（假设3.1），该假设允许在d=1,2,3维空间中定义Nemytskij算子，并确保误差控制所需的足够正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖马尔可夫计算的条件下，为半线性SPDEs中的指数欧拉格式推导弱误差估计？
• RQ2 当与谱伽辽金空间半离散化结合时，指数欧拉格式在抛物型SPDEs中的弱收敛速率是多少？
• RQ3 在弱误差分析中，如何消除或控制涉及无界算子A的不规则项？
• RQ4 对非线性项F需要施加何种假设，才能在不使用马尔可夫计算的条件下确保弱收敛性？
• RQ5 弱误差分析能否扩展至结合空间与时间格式的全离散格式？

主要发现

• 弱误差表示公式在不包含涉及无界算子A的不规则项的情况下被推导出来，从而实现了更简洁的分析。
• 结合谱伽辽金空间半离散化与指数欧拉时间积分的全离散格式实现了阶数为一的弱收敛速率。
• 误差估计不依赖于马尔可夫计算，为非线性SPDEs中的弱误差分析提供了新路径。
• 分析依赖于对非线性项F的线性化处理，以及满足条件（假设3.1）的合适假设，该假设在d=1,2,3维中包含Nemytskij算子。
• 空间弱误差被有界为C(λ_N)^{-β+ε}，时间误差通过变换后的柯尔莫哥洛夫方程方法得到控制。
• 整体弱误差估计不依赖于参数K，从而在分析中实现了统一的有界性。