[论文解读] Weak Galerkin Finite Element Methods for Optimal Control Problems Governed by Second Order Elliptic Partial Differential Equations

Chunmei Wang, Junping Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2023

Advanced Numerical Methods in Computational MathematicsEngineering被引用 3

一句话总结

本文针对由二阶椭圆PDE控制的最优控制问题，提出了一种弱伽辽金（WG）有限元方法，采用不连续有限元以提升灵活性与精度。该方法在能量范数和$L^2$范数下建立了最优误差估计，并通过在多边形网格上进行收敛性研究，验证了不同正则化参数下的数值结果。

ABSTRACT

This paper is concerned with the development of weak Galerkin (WG) finite element method for optimal control problems governed by second order elliptic partial differential equations (PDEs). It is advantageous to use discontinuous finite elements over the traditional $C^1$ finite elements here. Optimal order error estimates are established and confirmed by some numerical tests.

研究动机与目标

• 为由二阶椭圆PDE控制的最优控制问题开发一种弱伽辽金有限元方法。
• 通过采用不连续逼近方法，克服传统$C^1$有限元方法的局限性，以提升灵活性。
• 为数值解在能量范数和$L^2$范数下建立最优收敛速率。
• 通过在结构化和非结构化多边形网格上进行大量数值实验，验证理论结果。
• 将弱伽辽金方法拓展至最优控制领域，该领域此前尚无相关研究成果。

提出的方法

• 将最优控制问题表述为包含状态方程和带法向边界控制的代价泛函的约束最小化问题。
• 引入一种基于多边形或多面体单元上弱拉普拉斯算子的弱伽辽金变分格式。
• 对状态变量及其弱梯度采用不连续有限元空间，支持一般网格类型并实现高阶精度。
• 推导离散WG格式，并通过inf-sup稳定性分析证明离散解的存在性与唯一性。
• 通过投影算子比较精确解与离散解，推导误差方程。
• 利用WG投影的稳定性和逼近性质，建立能量范数和$L^2$范数下的先验误差估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 弱伽辽金有限元方法能否有效扩展至由二阶椭圆PDE控制的最优控制问题？
• RQ2 该WG方法在能量范数和$L^2$范数下的收敛行为如何？
• RQ3 正则化参数$\alpha$如何影响数值解的条件数与精度？
• RQ4 WG方法能否在一般多边形或多面体网格上实现最优阶收敛？
• RQ5 WG有限元空间中不同多项式阶次对精度与收敛速率有何影响？

主要发现

• 对于$P_k$-$P_{k-2}$ WG有限元对，能量范数误差收敛阶为$h^{k}$，$L^2$范数误差收敛阶为$h^{k+1}$。
• 对于$P_4$-$P_2$ WG方法，能量范数误差收敛阶为2.8–3.0，$L^2$误差收敛阶为2.7–4.9，具体取决于网格加密程度与$\alpha$值。
• 对于$P_5$-$P_3$ WG方法，能量范数误差收敛阶为5.9–6.0，$L^2$误差收敛阶为6.0–6.2，证实了最优收敛性。
• 数值结果表明，当$\alpha \to 0$或$\alpha \to \infty$时，解趋近于解析极限，且误差随网格加密而持续减小。
• 该方法在$\alpha$的广泛范围内（包括极端值$10^{-8}$至$10^9$）保持稳定与精确，表现出强鲁棒性。
• 数值解的可视化结果表明，随着$\alpha$增大，解平滑收敛至平坦或有序结构形态，与理论预期一致。