[论文解读] Weak Integer Additive Set-Indexers of Certain Graph Products

Sudev Naduvath, K. A. Germina|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文研究了两个弱整数加法集合索引器（弱 IASIs）的基图积——笛卡尔积、字典序积、冠图积和根积——中弱 IASI 的可接受性。研究证明，在特定标记条件下，这些积可接受弱 IASI，且为冠图积和根积推导出了明确的稀疏数公式，从而将集合索引理论在图标记中的应用扩展至复合图结构。

ABSTRACT

An integer additive set-indexer is defined as an injective function $f:V(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ such that the induced function $g_f:E(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ defined by $g_f (uv) = f(u)+ f(v)$ is also injective, where $f(u)+f(v)$ is the sumset of $f(u)$ and $f(v)$. If $g_f(uv)=k \forall uv\in E(G)$, then $f$ is said to be a $k$-uniform integer additive set-indexers. An integer additive set-indexer $f$ is said to be a weak integer additive set-indexer if $|g_f(uv)|=max(|f(u)|,|f(v)|) \forall uv\in E(G)$. We have some characteristics of the graphs which admit weak integer additive set-indexers. We already have some results on the admissibility of weak integer additive set-indexer by certain graphs and finite graph operations. In this paper, we study further characteristics of certain graph products like cartesian product and corona of two weak IASI graphs and their admissibility of weak integer additive set-indexers and provide some useful results on these types of set-indexers.

研究动机与目标

• 确定两个弱 IASI 图的基图积是否可接受弱 IASI。
• 表征在图积上可一致定义弱 IASI 的条件。
• 推导出两个弱 IASI 图的冠图积与根积的稀疏数的显式公式。
• 将整数加法集合索引理论扩展至复合图结构。

提出的方法

• 将弱 IASI 定义为从顶点到非负整数集合的单射标记，使得通过和集运算诱导的边标记也是单射，并满足 |f⁺(uv)| = max(|f(u)|, |f(v)|)。
• 通过复制和修改原图的标记模式，构建图积的顶点标记，确保任意相邻顶点不会同时具有非单元素集合标签。
• 对于笛卡尔积，根据顶点类型（单索引或非单索引）在 G₁ 的各副本中交替使用标记模式，以保持弱 IASI 性质。
• 对于冠图积，将对应于 G₁ 中非单索引顶点的 G₂ 副本分配 1-均匀标记，而将与单索引顶点相连的副本使用整数倍标记。
• 对于根积，将 G₂ 副本的集合标签按对应于 G₁ 中顶点的索引进行缩放，通过调整根顶点的标记以保持单射性和弱 IASI 条件。
• 证明所得标记函数在所有积图的边上均为单射，并满足弱 IASI 条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个弱 IASI 图的笛卡尔积在何种条件下可接受弱 IASI？
• RQ2 能否在两个弱 IASI 图的字典序积上一致定义弱 IASI？何种标记规则可确保这一点？
• RQ3 两个弱 IASI 图的冠图积的稀疏数的精确公式是什么？
• RQ4 两个弱 IASI 图的根积是否保持弱 IASI 性质？如何系统地构造其标记？
• RQ5 原图的阶数、边数和顶点度数如何影响其积的稀疏数？

主要发现

• 当通过基于原图顶点类型的交替单元素与非单元素模式在副本中对顶点进行标记时，两个弱 IASI 图的笛卡尔积 G₁□G₂ 可接受弱 IASI。
• 当且仅当 G₁ 为 1-均匀图，或 r 个 G₂ 的副本为 1-均匀图（其中 r 为 G₁ 中非单索引顶点的数量）时，两个弱 IASI 图的字典序积 G₁⊙G₂ 可接受弱 IASI。
• 冠图积 G₁⊙G₂ 的稀疏数为 r₁(1 + r₂) + (n₁ − r₁)m₂，其中 r₁ 和 r₂ 分别为 G₁ 和 G₂ 中单索引顶点的数量。
• G₂⊙G₁ 的稀疏数为 r₂(1 + r₁) + (n₂ − r₂)m₁，表明公式在积的顺序不同时呈现不对称性。
• 通过将 G₂ 副本的集合标签按对应于 G₁ 中顶点的索引进行缩放，并对根顶点进行特殊处理，两个弱 IASI 图的根积 G₁∘G₂ 可接受弱 IASI。
• 结果表明，弱 IASI 性质在多种基本图积下得以保持，且为冠图积与根积提供了稀疏数的精确公式。