[论文解读] Weighted Khovanov-Lauda-Rouquier algebras

Ben Webster|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用 27

一句话总结

本文通过在原始KLR代数的底层quiver的边上引入实数权重，引入了加权Khovanov-Lauda-Rouquier（KLR）代数，从而实现了通过鬼线介导的‘远距离作用’关系。该构造推广了循环商代数，并为张量积、Fock空间和quiver Schur代数的范畴化提供了一个统一框架，其Grothendieck群同构于quiver的Hall代数，建立了典范的双代数同构，将范畴化的量子群与几何表示理论联系起来。

ABSTRACT

In this paper, we define a generalization of Khovanov-Lauda-Rouquier algebras which we call weighted Khovanov-Lauda-Rouquier algebras. We show that these algebras carry many of the same structures as the original Khovanov-Lauda-Rouquier algebras, including induction and restriction functors which induce a twisted biaglebra structure on their Grothendieck groups. We also define natural quotients of these algebras, which in an important special case carry a categorical action of an associated Lie algebra. Special cases of these include the algebras categorifying tensor products and Fock spaces defined by the author and Stroppel in past work. For symmetric Cartan matrices, weighted KLR algebras also have a natural gometric interpretation as convolution algebras, generalizing that for the original KLR algebras by Varagnolo and Vasserot; this result has positivity consequences important in the theory of crystal bases. In this case, we can also relate the Grothendieck group and its bialgebra structure to the Hall algebra of the associated quiver.

研究动机与目标

• 通过引入允许‘远距离作用’关系的边权重，推广Khovanov-Lauda-Rouquier代数。
• 构造这些代数的稳态商，以范畴化地实现Kac-Moody代数的表示。
• 在单一框架下统一先前关于张量积代数、quiver Schur代数和Fock空间范畴化的构造。
• 在对称和仿射情形下，建立加权KLR代数的Grothendieck群与quiver Hall代数之间的典范同构。
• 利用ℓ-进层和Frobenius迹，在有限域上为加权KLR代数提供几何解释，通过Grothendieck迹公式与Hall代数建立联系。

提出的方法

• 为quiver中每条有向边e引入一个权重ϑe ∈ ℝ，该权重确定了从e的头节点出发的每条标记线附近距离ϑe处的一条‘鬼’线。
• 将加权KLR代数定义为一种图示代数的商代数，其关系依赖于线段及其鬼线之间的相对位置，当线段接近到固定距离内时，允许非局部关系。
• 在模的范畴上构造诱导和限制函子，使Grothendieck群获得扭曲的双代数结构。
• 将加权KLR代数的‘稳态商’定义为一种商代数，其范畴化地实现与Kac-Moody代数相关的动作，推广了循环KLR代数。
• 在𝔽q上的quiver表示簇上使用ℓ-进层，定义在有理点集上的函数TM，计算层上Frobenius的超迹。
• 利用Grothendieck迹公式和混合层的纯性，证明从Grothendieck群到Hall代数的映射TM是双代数同态。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何推广原始KLR代数的关系，使其基于相对位置而非交叉，实现线段间的非局部相互作用？
• RQ2 加权KLR代数的Grothendieck群的结构是什么？它与quiver的Hall代数有何关系？
• RQ3 加权KLR代数的构造能否统一已知的张量积和Fock空间的范畴化？
• RQ4 加权KLR代数在有限域上的几何解释是什么？它如何与Hall代数关联？
• RQ5 在何种条件下，加权KLR代数与原始KLR代数或quiver Schur代数Morita等价？

主要发现

• 加权KLR代数具有类似置换的基，并具有忠实的多项式表示，推广了原始KLR代数的结构。
• 加权KLR代数的Grothendieck群通过诱导和限制函子获得扭曲的双代数结构。
• 加权KLR代数的稳态商范畴化地实现了相关Kac-Moody代数的作用，推广了循环KLR代数。
• 在对称Cartan矩阵情形下，加权KLR代数同构于构造层的卷积代数，推广了Varagnolo-Vasserot的结果。
• 通过Grothendieck迹公式，存在从加权KLR代数的Grothendieck群到quiver Hall代数的典范双代数同构。
• 在仿射情形下，正权重的加权KLR代数的Grothendieck群同构于Hall代数中具有幂零支撑的子代数，该子代数由Vasserot和Varagnolo研究过。