[论文解读] Weighted Persistent Homology Sums of Random \v{C}ech Complexes

Benjamin Schweinhart|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文研究了在度量空间上从独立同分布样本构建的随机Čech复形中，加权持久同调和的渐近行为。证明了当从m维球面或m维球体中均匀抽样时，i维持久同调区间的α加权和在期望下按n^{(m−α)/m}缩放，且在概率上具有紧致界，将经典的最小生成树结果推广至高维拓扑特征。

ABSTRACT

We study the asymptotic behavior of random variables of the form \\begin{equation*} E_{\\alpha}^i\\left(x_1,\\ldots,x_n\ ight)=\\sum_{\\left(b,d\ ight)\\in \\mathit{PH}_i\\left(x_1,\\ldots,x_n\ ight)} \\left(d-b\ ight)^{\\alpha} \\end{equation*} where $\\left\\{x_j\ ight\\}_{j\\in\\mathbb{N}}$ are i.i.d. samples from a probability measure on a triangulable metric space, and $\ extit{PH}_i\\left(x_1,\\ldots,x_n\ ight)$ denotes the $i$-dimensional reduced persistent homology of the \\v{C}ech complex of $\\left\\{x_1,\\ldots,x_n\ ight\\}.$ These quantities are a higher-dimensional generalization of the $\\alpha$-weighted sum of a minimal spanning tree; we seek to prove analogues of the theorems of Steele (1988) and Aldous and Steele (1992) in this context. As a special case of our main theorem, we show that if $\\left\\{x_j\ ight\\}_{j\\in\\mathbb{N}}$ are distributed independently and uniformly on the $m$-dimensional Euclidean sphere, $\\alpha<m,$ and $0\\leq i <n,$ then there are real numbers $\\gamma$ and $\\Gamma$ so that \\begin{equation*} \\gamma \\leq \\lim_{n\ ightarrow\\infty} n^{-\\frac{m-\\alpha}{m}} E_i^{\\alpha}\\left(x_1,\\ldots,x_n\ ight) \\leq \\Gamma \\end{equation*} in probability. More generally, we prove results about the asymptotics of the expectation of $E_\\alpha^i$ for points sampled from a locally bounded probability measure on a space that is the bi-Lipschitz image of an $m-$dimensional Euclidean simplicial complex, as well as measures supported on sets of fractional dimension that respect box counting.

研究动机与目标

• 将经典关于最小生成树的概率结果推广至通过持久同调得到的高维拓扑特征。
• 分析随机Čech复形中持久同调区间α加权和的渐近行为。
• 在m维空间上从紧致且局部有界的测度抽样下，建立这些和的几乎必然收敛与概率收敛界。
• 将已知的持久同调极值界扩展至具有显式缩放律的概率设定。

提出的方法

• 使用定义为 $ E_{\beta}^{i} = \sum_{(b,d) \in \mathrm{PH}_i} (d-b)^\alpha $ 的加权持久同调和，推广了最小生成树权重。
• 应用持久同调的双李普希茨不变性，将曲面上的抽样与欧氏模型关联。
• 采用概率集中性论证和泊松近似，控制给定寿命带中的区间数量。
• 通过与泊松过程及小球体内积的比较，推导下界与上界。
• 利用双李普希茨映射下的交错引理，将欧氏空间中的结果转移至一般m维度量空间。
• 应用Cohen-Steiner等人关于当 $ \alpha > m $ 时 $ E_{\alpha}^{i} $ 一致有界的结论，建立上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在m维球面上的随机Čech复形中，持久同调区间α加权和的渐近缩放行为是什么？
• RQ2 当 $ \alpha < m $ 时，极限 $ \lim_{n \to \infty} n^{-(m-\alpha)/m} E_{\alpha}^{i}(x_1,\dots,x_n) $ 是否存在且在概率上保持有界？
• RQ3 在球面或球体上，$ E_{\alpha}^{i} $ 的行为与 $ \mathbb{R}^m $ 中最小生成树的经典结果有何异同？
• RQ4 能否将 $ E_{\alpha}^{i} $ 的缩放律从 $ i=0 $ 推广至更高维同调群？
• RQ5 当 $ n \to \infty $ 时，总寿命持久同调 $ E_{m}^{i} $ 的行为如何？

主要发现

• 对于m维球面上独立同分布的均匀抽样，当 $ \alpha < m $ 时，有 $ \gamma \leq \lim_{n \to \infty} n^{-(m-\alpha)/m} E_{\alpha}^{i} \leq \Gamma $ 在概率上成立，其中常数 $ \gamma, \Gamma $ 依赖于 $ \alpha $ 和测度。
• 在m维欧氏球体上，相同的缩放关系在期望下成立：$ \gamma \leq \lim_{n \to \infty} n^{-(m-\alpha)/m} \mathbb{E}[E_{\alpha}^{i}] \leq \Gamma $，且下界在概率上也成立。
• 当 $ \alpha = m $ 时，总寿命持久同调满足 $ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\log n} \mathbb{E}[E_{m}^{i}] \leq D $ 在概率上成立，其中 $ D $ 为某有限常数。
• 下界通过泊松近似论证建立，表明存在 $ \gamma' > 0 $，使得 $ \lim_{n \to \infty} n^{-(m-\alpha)/m} E_{\alpha}^{i} \geq \gamma' $ 在概率上成立。
• 结果可推广至双李普希茨映射下的m维单纯复形的局部有界概率测度，利用双李普希茨映射下持久同调的交错引理。
• 本文推广了Steele关于最小生成树的定理以及Aldous–Steele的 $ L^2 $ 收敛结果至高维持久同调，建立了拓扑数据分析中新一类缩放律。