[论文解读] Well-posedness and tamed Euler schemes for McKean-Vlasov equations driven by Lévy noise

Neelima Neelima, Sani Biswas+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 39被引用 11

一句话总结

本文在较弱条件下（包括超线性增长和无限 Lévy 测度）建立了由 Lévy 白噪声驱动的 McKean–Vlasov SDE 的适定性。引入了一种用于相关粒子系统的截断 Euler 格式，证明了其强收敛速率可任意接近 1/2，且该结果已推广至带延迟和马氏切换的 SDE。

ABSTRACT

We prove the well-posedness of solutions to McKean-Vlasov stochastic differential equations driven by Lévy noise under mild assumptions where, in particular, the Lévy measure is not required to be finite. The drift, diffusion and jump coefficients are allowed to be random, can grow super-linearly in the state variable, and all may depend on the marginal law of the solution process. We provide a propagation of chaos result under more relaxed conditions than those existing in the literature, and consistent with our well-posedness result. We propose a tamed Euler scheme for the associated interacting particle system and prove that the rate of its strong convergence is arbitrarily close to $1/2$. As a by-product, we also obtain the corresponding results on well-posedness, propagation of chaos and strong convergence of the tamed Euler scheme for McKean-Vlasov stochastic delay differential equations (SDDE) and McKean-Vlasov stochastic differential equations with Markovian switching (SDEwMS), both driven by Lévy noise. Furthermore, our results on tamed Euler schemes are new even for ordinary SDEs driven by Lévy noise and with super-linearly growing coefficients.

研究动机与目标

• 在最小假设条件下（包括无限 Lévy 测度和状态变量的超线性增长系数）建立由 Lévy 噪声驱动的 McKean–Vlasov SDE 的适定性。
• 将混沌传播结果推广至早先已知结果更宽松的条件，与适定性框架保持一致。
• 为相互作用粒子系统近似开发并分析一种截断 Euler 格式，确保强收敛性。
• 将截断 Euler 格式的结果推广至由 Lévy 噪声驱动的带时间延迟和马氏切换的 McKean–Vlasov SDE。
• 在 SDE 带 Lévy 噪声和超线性系数的背景下，首次提供截断 Euler 格式收敛速率的分析，即使在普通 SDE 情况下亦成立。

提出的方法

• 通过在漂移、扩散和跳跃系数上施加较弱条件，证明带 Lévy 噪声的 McKean–Vlasov SDE 解的存在性与唯一性，允许超线性增长和随机依赖。
• 对粒子系统近似采用截断 Euler 格式，其中漂移项和跳跃项被截断以控制爆炸性增长。
• 使用 Itô 公式和先验矩估计，通过具有多项式增长的 Lyapunov 型函数推导出截断格式的稳定性界。
• 在时间区间 $[\ell\tau, (\ell+1)\tau]$ 上应用局部化方法，以处理非马氏性质和非一致可积性。
• 通过耦合论证和矩控制建立混沌传播，证明粒子系统的经验测度收敛于解的分布。
• 利用 Hölder 不等式和对时间离散化误差的矩界，推导收敛速率，借助截断机制控制高阶矩。

实验结果

研究问题

• RQ1 当系数呈超线性增长且 Lévy 测度为无限时，由 Lévy 噪声驱动的 McKean–Vlasov SDE 在何种最小条件下存在唯一的强解？
• RQ2 当系数不满足 Lipschitz 条件但满足更弱的生长和可积性条件时，混沌传播结果是否可推广至此类情形？
• RQ3 对于带 Lévy 噪声和超线性系数的 McKean–Vlasov SDE 的粒子系统近似，截断 Euler 格式的强收敛速率是多少？
• RQ4 在相同的系数假设下，截断 Euler 格式能否被适配并分析于带时间延迟或马氏切换的 McKean–Vlasov SDE？
• RQ5 在普通 SDE 带 Lévy 噪声和超线性漂移的情况下，截断格式的收敛结果是否仍为首次提出？

主要发现

• 在包括无限 Lévy 测度和状态变量超线性增长在内的较弱条件下，建立了带 Lévy 噪声的 McKean–Vlasov SDE 的适定性。
• 在放宽的条件下，混沌传播结果依然成立，允许漂移和扩散系数呈超线性增长，且 Lévy 测度为无限。
• 粒子系统的截断 Euler 格式实现了强收敛速率任意接近 $1/2$，即 $\text{rate} = \frac{1}{2} - \epsilon$，其中任意 $\epsilon > 0$。
• 收敛速率结果已推广至带时间延迟和马氏切换的 McKean–Vlasov SDE，两者均由 Lévy 噪声驱动。
• 该截断 Euler 格式首次提供了普通 SDE 带 Lévy 噪声和超线性系数的收敛速率结果，具有开创性贡献。
• 分析依赖于矩界和在时间区间上的局部化，误差估计通过 Hölder 不等式和截断系数的可积性得到控制。