[论文解读] Well-posedness of regular solutions for 3-D full compressible Navier-Stokes equations with degenerate viscosities and heat conductivity

Qin Duan, Zhouping Xin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2023

Navier-Stokes equation solutionsMathematics被引用 3

一句话总结

本文建立了具有退化粘性和热导率的三维全压缩型纳维-斯托克斯方程在时间局部范围内正则解的适定性，其中粘性系数和热导率随温度按幂律依赖。通过将系统重新表述为密度、速度和熵（ρ, u, S）的形式，并引入一种奇异-退化加权能量框架，作者证明了在真空附近熵保持一致的高阶正则性（S − S̄ ∈ L⁶ ∩ Ḣ³），克服了在真空存在下时间演化和空间耗散的奇异性带来的挑战。

ABSTRACT

For the degenerate viscous and heat conductive compressible fluids, the momentum equations and the energy equation are degenerate both in the time evolution and spatial dissipation when vacuum appears, and then the physical entropy S behaves singularly, which make it challenging to study the corresponding well-posedness of regular solutions with high order regularities of S near the vacuum. In this paper, for the physically important case that the coefficients of viscosities and heat conductivity depend on the absolute temperature θin a power law of Chapman-Enskog, we identify a class of initial data admitting a local-in-time regular solution with far field vacuum to the Cauchy problem of the 3-D full CNS, and such a solution possesses the uniformly high order regularities for S near the vacuum. The key idea here is to study the vacuum problem in terms of the mass density ρ, velocity u and S instead of (ρ, u,θ), which makes it possible to compare the orders of the degeneracy of the time evolution and the spatial dissipations near the vacuum in terms of the powers of ρ. However, for heat conductive fluids, both a degenerate spatial dissipation and a source term related to riangle ρ^{γ-1}, will appear in the time evolution equation for S, which makes it formidable to study the propagation of regularities of S. Fortunately, based on some elaborate analysis of the intrinsic degenerate-singular structures of the 3-D full CNS, we can choose proper weights to control the behaviors of (ρ, u,S) by introducing an enlarged reformulated system, which includes a singular parabolic system for u, and one degenerate-singular parabolic equation for S. Then one can carry out a series of weighted energy estimates carefully designed for this reformulated system, which provides an effective propagation mechanism for S's high order regularities near the vacuum.

研究动机与目标

• 建立三维全压缩型纳维-斯托克斯方程在退化粘性和热导率下时间局部正则解的适定性。
• 解决在真空附近熵S的时间演化和空间耗散均退化时，维持其高阶正则性的挑战。
• 通过将系统重表述为(ρ, u, S)而非(ρ, u, θ)来克服真空存在下熵的奇异性行为。
• 构建一种新的加权能量估计框架，以控制熵方程的退化-奇异结构。
• 证明熵偏差S − S̄在整个解的生命周期内保持一致的高阶正则性（L⁶ ∩ Ḣ³）。

提出的方法

• 将三维全压缩型纳维-斯托克斯方程以质量密度ρ、速度u和比熵S的形式重表述，避免显式依赖于温度θ。
• 引入一个扩展系统，其中包含一个关于u的奇异抛物方程和一个关于S的退化-奇异抛物方程，以捕捉在真空附近的内在退化性。
• 设计一类新型加权能量估计，专门针对系统的退化-奇异结构，使用基于ρ及其幂次的权重。
• 通过平衡时间演化项与空间耗散项，应用精心构造的能量估计来控制S的高阶正则性，特别是在真空附近。
• 利用Aubin-Lions紧致性引理和Gagliardo-Nirenberg不等式，建立逼近过程中的收敛性与正则性。
• 采用消失的人工耗散方法，取极限后得到原始退化系统在远场真空条件下的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当粘性和热导率随温度退化且存在真空时，三维全压缩型纳维-斯托克斯方程的正则解是否仍具有时间局部适定性？
• RQ2 当熵S的时间演化和空间耗散在真空附近趋于奇异时，如何保持其高阶正则性（例如在Ḣ³中）？
• RQ3 何种系统重表述能够有效控制熵方程的退化-奇异行为？
• RQ4 能否构建一种加权能量估计框架，以处理S的时间演化与空间耗散中相互竞争的退化性？
• RQ5 在存在真空的情况下，(ρ, u, S)形式在保持正则性和证明适定性方面起到何种作用？

主要发现

• 本文建立了三维全压缩型纳维-斯托克斯方程在远场真空条件下时间局部正则解(ρ, u, S)的存在性。
• 该解在整个生命周期内保持熵偏差的统一高阶正则性：S − S̄ ∈ L⁶(R³) ∩ Ḣ³(R³)，其中S̄为某常数。
• 作者识别出一类初始数据(ρ₀ > 0, u₀, S₀)，其总质量与能量有限，可产生此类解。
• 通过对方程积分并利用正则性假设，证明了总质量、动量和能量随时间守恒。
• 解保持远场行为：对所有t ≥ 0，有(ρ, u, S) → (0, 0, S̄)当|x| → ∞。
• 证明依赖于一种新颖的加权能量估计策略，应用于(ρ, u, S)形式的重构系统，从而隔离并控制了熵方程的退化-奇异结构。