[论文解读] Wellposedness and regularity estimate for stochastic Cahn--Hilliard equation with unbounded noise diffusion

Jianbo Cui, Jialin Hong|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文建立了带乘法空间-时间白噪声和次线性扩散的二维一维随机Cahn–Hilliard方程的全局存在性与最优正则性估计。通过应用谱伽辽金方法与分解技术，作者证明了逼近解的强收敛具有精确速率，从而在一般次线性增长噪声扩散条件下首次获得全局存在性与正则性结果。

ABSTRACT

In this article, we consider the stochastic Cahn--Hilliard equation driven by multiplicative space-time white noise with diffusion coefficient of sublinear growth. By introducing the spectral Galerkin method, we first obtain the well-posedness of the approximated equation in finite dimension. Then with the help of the semigroup theory and the factorization method, the approximation processes is shown to possess many desirable properties. Further, we show that the approximation process is strongly convergent in certain Banach space via the interpolation inequality and variational approach. Finally, the global existence and regularity estimate of the unique solution process are proven by means of the strong convergence of the approximation process.

研究动机与目标

• 解决在一般次线性扩散增长下，带乘法空间-时间白噪声的随机Cahn–Hilliard方程的全局存在性这一开放问题。
• 为解过程建立最优的时间与空间正则性估计。
• 在合适的巴拿赫空间中推导谱伽辽金逼近的精确强收敛速率。
• 证明温和解的指数可积性，这对长时间分析与数值稳定性至关重要。

提出的方法

• 在有限维子空间中应用谱伽辽金方法对随机Cahn–Hilliard方程进行离散化。
• 利用半群理论与分解方法，推导逼近方程的适定性与一致先验估计。
• 应用插值不等式与变分技术，在 $L^p(\text{dom}; C([0,T]; \text{H}))$ 中建立逼近序列的强收敛性。
• 利用半群 $S(t) = e^{-A^2 t}$ 的光滑效应，在齐次狄利克雷边界条件下推导精确的空间收敛速率。
• 使用Gagliardo–Nirenberg与Young不等式控制能量估计中的非线性项。
• 通过指数鞅引理与逼近解序列的一致有界性，证明指数可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有次线性增长扩散系数与空间-时间白噪声的随机Cahn–Hilliard方程，其解的全局存在性是否可被确立？
• RQ2 在一般次线性噪声扩散条件下，该方程的谱伽辽金方法的最优强收敛速率为何？
• RQ3 在乘法空间-时间白噪声存在下，解过程是否具有最优的时间与空间正则性估计？
• RQ4 在相同条件下，解的指数可积性是否可被确立，从而支持非全局SPDE分析中的应用？

主要发现

• 对于初始数据 $X_0 \notin \text{H}^1$ 但属于 $\text{H}^\beta$（$\beta \neq 0$）的情形，随机Cahn–Hilliard方程的解过程 $X(t)$ 在温和意义下全局存在且唯一。
• 谱伽辽金逼近 $X^N$ 在 $L^p(\text{dom}; C([0,T]; \text{H}))$ 中以速率 $O(\rho_N^{-\tau/2})$ 强收敛于真实解 $X$，其中 $\rho_N$ 为算子 $A$ 的第 $N$ 个特征值，且 $\tau \neq 0$。
• 解满足最优时间正则性估计：$\big\rrVert X(t) - X(s) \big\rrVert_{L^p(\text{dom}; \text{H})} \triangleq C(X_0, T, p) |t-s|^{\frac{\tau}{4}}$，其中 $0 \triangleq s \triangleq t \triangleq T$。
• 在齐次狄利克雷边界条件下，解表现出精确的空间正则性，强收敛速率为 $O(\rho_N^{-\tau/2})$。
• 指数可积性成立：$\text{E}\big[\text{exp}\big( \frac{1}{2}e^{-\beta t}\big\rrVert X(t)\big\rrVert_{\text{H}^{-1}}^2 + c\textstyle\bigint_0^t e^{-\beta s}\big\rrVert X(s)\big\rrVert_{L^4}^4 ds + c\textstyle\bigint_0^t e^{-\beta s}\big\rrVert \nabla X(s)\big\rrVert^2 ds \big)\big] \triangleq C(X_0, T)$，其中 $\beta > 0$，$c > 0$。
• 这是首个在无界（次线性）噪声扩散条件下，同时建立随机Cahn–Hilliard方程全局存在性与精确强收敛速率的结果。