[论文解读] What Separable Frobenius Monoidal Functors Preserve

Micah Blake McCurdy, Ross Street|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文表征了可分弗罗贝尼乌斯张量函子所保持的张量表达式，表明其在共轭下稳定，并保持张量范畴中的张量杨-巴克斯算子、弱杨-巴克斯算子及弱双分次代数结构。主要贡献在于通过共轭稳定性对所保持结构进行几何表征，并证明每个弱杨-巴克斯算子均可作为此类函子下真实杨-巴克斯算子的像而实现。

ABSTRACT

Separable Frobenius monoidal functors were defined and studied under that name by Szlachanyi and by Day and Pastro, and in a more general context by Cockett and Seely. Our purpose here is to develop their theory in a very precise sense. We determine what kinds of equations in monoidal categories they preserve. For example we show they preserve lax (meaning not necessarily invertible) Yang-Baxter operators, weak Yang-Baxter operators in the sense of Alonso Alvarez et al., and (in the braided case) weak bimonoids in the sense of Pastro and Street. In fact, we characterize which monoidal expressions are preserved (or rather, are stable under conjugation in a well-defined sense). We show that every weak Yang-Baxter operator is the image of a genuine Yang-Baxter operator under a separable Frobenius monoidal functor. Prebimonoidal functors are also defined and discussed.

研究动机与目标

• 建立单一同调范畴中可分弗罗贝尼乌斯张量函子的精确理论。
• 通过共轭稳定性，对这些函子所保持的张量表达式进行几何表征。
• 在辫子范畴中，证明此类函子保持张力杨-巴克斯算子、弱杨-巴克斯算子及弱双分次代数结构。
• 引入并研究预双分次函子作为一般化形式，将其与可分弗罗贝尼乌斯函子联系起来。
• 证明每个弱杨-巴克斯算子均可作为真实杨-巴克斯算子在可分弗罗贝尼乌斯张量函子下的像而实现。

提出的方法

• 本文将可分弗罗贝尼乌斯张量函子定义为同时具备兼容的张量与协张量结构，且对 n>0 有复合 ψ∘ϕ 为恒等映射的函子。
• 引入两个多重张量积之间态射的 F-共轭，利用 φ 和 ψ 结构将定义域范畴中的表达式映射到陪域。
• 利用同调定理将张量范畴视为严格范畴，从而简化张量表达式的操作。
• 通过交换图（如图 9 和图 10）证明 F-共轭的杨-巴克斯算子是良定义的，并保持结构。
• 在辫子张量范畴之间定义预双分次函子，并证明强张量函子是预双分次函子当且仅当其为辫子函子。
• 建立可分弗罗贝尼乌斯函子的复合性，并通过共轭与稳定性关系揭示其与弱双分次代数结构的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 F-共轭操作下，哪些张量表达式被可分弗罗贝尼乌斯张量函子所保持？
• RQ2 可分弗罗贝尼乌斯张量函子与张力杨-巴克斯算子及弱杨-巴克斯算子的保持性之间有何关系？
• RQ3 在辫子张量范畴中，预双分次函子与可分弗罗贝尼乌斯函子之间存在何种关系？
• RQ4 每个弱杨-巴克斯算子是否都能作为真实杨-巴克斯算子在该类函子下的像而实现？
• RQ5 在何种条件下，强张量函子是预双分次函子，这与辫子结构有何关联？

主要发现

• 可分弗罗贝尼乌斯张量函子保持张力杨-巴克斯算子，即算子无需可逆。
• 它们也保持弱杨-巴克斯算子（见文献[2]中的定义），将所保持结构的类扩展至非严格情形。
• 在辫子情形下，这些函子保持文献[12]中定义的弱双分次代数，展示了其在广义双代数结构中的实用性。
• 每个弱杨-巴克斯算子均可作为可分弗罗贝尼乌斯张量函子下真实杨-巴克斯算子的 F-共轭而实现。
• 在辫子张量范畴之间，强张量函子是预双分次函子当且仅当其为辫子函子，从而精确建立了这两类概念之间的联系。
• 在张量（或协张量）函子下，单子（或余单子）的 F-共轭仍为单子（或余单子），推广了已知结果。