[论文解读] Why Linear Programming cannot solve large instances of NP-complete problems in polynomial time

Radosław Hofman|ArXiv.org|Nov 2, 2006

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文证明，尽管近期有声称使用大规模线性规划公式（变量数为 O(n⁹)）成功求解 NP-完全问题，但线性规划（LP）无法在多项式时间内求解大规模 NP-完全问题实例。本文证明，虽然 LP 属于 P，但其在 NP-完全问题上的应用因固有的结构性限制而无法在渐近意义上成立，即使对几乎所有合理大小的实例都能正确求解。

ABSTRACT

This article discusses ability of Linear Programming models to be used as solvers of NP-complete problems. Integer Linear Programming is known as NP-complete problem, but non-integer Linear Programming problems can be solved in polynomial time, what places them in P class. During past three years there appeared some articles using LP to solve NP-complete problems. This methods use large number of variables (O(n^9)) solving correctly almost all instances that can be solved in reasonable time. Can they solve infinitively large instances? This article gives answer to this question.

研究动机与目标

• 调查尽管有近期声称，线性规划是否能在多项式时间内求解 NP-完全问题。
• 分析用于求解 NP-完全问题的大规模 LP 公式（例如 O(n⁹) 个变量）的局限性。
• 确立 LP 无法处理 NP-完全问题的任意大规模实例，即使其对小规模或中等规模实例有效。
• 通过展示 LP 无法捕捉 NP-完全性，澄清 P 与 NP 之间的理论边界。

提出的方法

• 分析为 NP-完全问题提出的 LP 公式的结构，特别是具有 O(n⁹) 个变量的公式。
• 应用理论复杂性理论，评估此类 LP 模型是否能对所有实例实现多项式规模扩展。
• 利用整数线性规划为 NP-完全问题，而非整数 LP 属于 P 的事实，揭示理论上的差距。
• 证明由于固有的凸性与维度限制，没有任何 LP 公式能够模拟 NP-完全问题的完整解空间。
• 表明即使 LP 能够正确求解大多数小规模实例，也无法推广至任意大规模实例。
• 采用复杂性理论推理，论证无论变量数量多少，LP 都无法捕捉 NP-完全性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有 O(n⁹) 个变量的线性规划公式是否能在多项式时间内求解 NP-完全问题的所有实例？
• RQ2 为何基于 LP 的方法在小规模 NP-完全问题上成功，却无法扩展至任意大规模实例？
• RQ3 是否存在阻止 LP 在多项式时间内求解 NP-完全问题的根本性理论障碍？
• RQ4 非整数 LP 的多项式时间可解性是否意味着它能求解 NP-完全问题？
• RQ5 LP 公式能否被扩展以捕捉 NP-完全问题的全部复杂性？

主要发现

• 尽管能正确求解许多小规模实例，LP 无法在多项式时间内求解 NP-完全问题的所有实例。
• 虽然具有 O(n⁹) 个变量的 LP 公式在中等输入下有效，但无法扩展至任意大规模实例。
• LP 的固有凸性与维度特性，使其无法建模 NP-完全问题的离散、组合结构。
• 尽管 LP 属于 P，整数 LP 属于 NP-完全，但没有任何 LP 公式能够模拟 NP-完全问题的解空间。
• 存在根本性的理论障碍——无论变量数量多少，LP 都无法表达 NP-完全性的全部复杂性。
• 本文结论为：LP 不足以提供 NP-完全问题的一般多项式时间解法。