[论文解读] Wigner's inequality for conditional probabilities and nonexistence of a realistic model for the two dimensional Hilbert space

Andrei Khrennikov|ArXiv.org|Aug 14, 2003

Quantum Mechanics and Applications参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文通過表明貝爾在隱含使用的一種經典概率模型——缺乏由貝葉斯公式定義的條件機率——與柯爾莫哥洛夫公理概率理論存在根本差異，重新審視了貝爾不等式。主要貢獻在於證明了一個新的威格納型不等式，適用於條件機率，該不等式即使在二維希爾伯特空間中亦被量子力學所違反，從而證明在最基礎層次上，量子系統不存在實在性局部模型。

ABSTRACT

We perform the analysis of probabilistic assumptions of Bell's approach. We emphasize that J. Bell wrote about probability without to specify the concrete axiomatics of probability theory. The careful analysis demonstrated that (surprisingly) J. Bell did not apply the classical probability model (Kolmogorov) to describe ``classical physical framework.'' In fact, he created his own probabilistic model and compared it with the quantum one. The crucial point is that J. Bell did not pay attention to {\it conditional probabilities.} We show that conditional probability in his model cannot be defined by classical Bayes' formula. We also use the approach based on Bell-type inequalities in the conventional probabilistic approach, Kolmogorov model. We prove an analog of Wigner's inequality for conditional probabilities and by using this inequality show that predictions of the conventional and quantum probability models disagree already in the case of noncomposite systems (even in the two dimensional case).

研究动机与目标

• 澄清貝爾在其EPR-貝爾分析中所使用的隱含機率模型，該模型與柯爾莫哥洛夫公理概率框架不同。
• 指出貝爾的模型缺乏透過貝葉斯公式定義的條件機率，這是經典機率理論的核心特徵。
• 證明經典與量子機率模型之間的分歧甚至會出現在非複合系統中，例如二維希爾伯特空間。
• 建立一個基於條件機率的新貝爾型不等式，適用於序列（非同時）測量。
• 顯示像皮托夫斯基與艾爾茨的模型，即使能重現量子統計，也必然違反此新不等式，因其條件機率具有非貝葉斯性質。

提出的方法

• 本文構建了一個『貝爾型』機率模型，其基於測度論基礎，但省略了條件機率與貝葉斯公式，與標準柯爾莫哥洛夫模型形成對比。
• 在假設貝葉斯公式成立的條件下，推導出一個適用於條件機率的新型威格納型不等式，形成對經典機率模型的貝爾型約束。
• 將該不等式應用於二維希爾伯特空間，顯示即使在無糾纏或複合系統的情況下，量子預測亦違反該不等式。
• 比較經典條件機率（透過貝葉斯公式定義）與量子條件機率（透過馮諾依曼投影假設定義）。
• 使用馮諾依曼對應框架連結經典與量子統計模型，強調必須納入條件機率假設（CP）以彌補模型間的差距。
• 分析現有的隱變量模型（皮托夫斯基、艾爾茨、楚查爾），顯示它們並非因與經典機率一致而避開貝爾不等式，而是因其違反條件機率的貝葉斯結構。

实验结果

研究问题

• RQ1 為何貝爾原始推導非局域性的過程未能明確定義其所使用的機率框架？此模糊性如何影響其結果的詮釋？
• RQ2 能否針對條件機率而非聯合機率推導出貝爾型不等式？這對經典現實主義意味著什麼？
• RQ3 即使在二維希爾伯特空間中，此類條件機率不等式是否仍會被違反，從而顯示非局域性或非現實性在最基礎層次上的存在？
• RQ4 為何皮托夫斯基與艾爾茨的模型能重現量子統計卻不違反貝爾不等式？其結構特徵為何允許此現象？
• RQ5 量子系統中貝葉斯公式失效是否為經典與量子機率模型不相容的根本原因？

主要发现

• 在假設貝葉斯公式成立的條件下，推導出一個適用於條件機率的新型威格納型不等式，任何經典機率模型都必須滿足此不等式。
• 即使在二維希爾伯特空間中，該不等式亦被量子力學所違反，證明在條件機率層次上，不存在任何實在性局部模型能重現量子預測。
• 貝爾在隱含使用之貝爾型機率模型中，未透過貝葉斯公式定義條件機率，使其與標準柯爾莫哥洛夫機率理論不相容。
• 條件機率不等式的違反並非源自糾纏，而是出於量子條件機率的非貝葉斯結構，即使在單粒子系統中亦然。
• 皮托夫斯基與艾爾茨的模型避開貝爾不等式，並非因其為經典模型，而是因其本質上違反條件機率的貝葉斯結構，因而與量子非柯爾莫哥洛夫行為一致。
• 本文結論指出，條件機率對應假設（CP）對任何經典-量子對應關係至關重要，其缺失將使此類模型在物理上失去一致性。