[论文解读] Working with Nonassociative Geometry and Field Theory

Gwendolyn E. Barnes, Alexander Schenkel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文通过共链扭曲量子化方法，为非交换与非结合空间上的微分几何建立了一个系统化的形式体系，实现了杨-米尔斯理论与爱因斯坦-嘉当引力作用量的显式构造。通过定义非结合星积、联络、曲率以及满足一致实性条件与三重循环性的反对称楔积，该研究在这些空间上建立了实值、物理上可行的场论。

ABSTRACT

We review aspects of our formalism for differential geometry on noncommutative and nonassociative spaces which arise from cochain twist deformation quantization of manifolds. We work in the simplest setting of trivial vector bundles and flush out the details of our approach providing explicit expressions for all bimodule operations, and for connections and curvature. As applications, we describe the constructions of physically viable action functionals for Yang-Mills theory and Einstein-Cartan gravity on noncommutative and nonassociative spaces, as first steps towards more elaborate models relevant to non-geometric flux deformations of geometry in closed string theory.

研究动机与目标

• 为由共链扭曲量子化产生的非交换与非结合空间上的微分几何提供一个具体且显式的框架。
• 解决在非结合几何中，对物理相关场论而言，双模运算、联络与曲率缺乏显式构造的问题。
• 在非结合时空中构造实值、物理一致的作用量泛函，适用于杨-米尔斯理论与爱因斯坦-嘉当引力。
• 证明在偶数与奇数维下，实性条件与三重循环性可确保非结合爱因斯坦-嘉当作用量为实值。
• 将先前的抽象范畴论构造推广为更易访问、局部化且可计算的形式，以适用于弦理论与量子引力研究。

提出的方法

• 利用经典流形的共链扭曲量子化生成非交换与非结合代数，通过扭曲元素 $ F $ 定义星积 $ abla_{ ext{twist}} $，并借助扭曲算子实现。
• 在具有对角霍普夫代数作用的平凡向量丛上显式构造双模运算，实现非结合几何的局部描述。
• 通过扭曲微分学定义非结合向量丛上的联络与曲率，曲率 $ R^{ab} $ 由非结合星积导出。
• 为非结合楔积 $ igwedge_{ ext{twist}} $ 引入两种括号约定：$ E_{\text{left}}^{a_1\cdots a_k} $ 与 $ E_{\text{right}}^{a_1\cdots a_k} $，以确保正确的反对称化与实性。
• 通过非结合场强 $ F^{ab} $ 构造杨-米尔斯作用量，通过曲率 $ R^{ab} $ 构造爱因斯坦-嘉当作用量，两者均使用扭曲楔积与霍奇对偶。
• 对旋联络 $ \omega^{ab} $ 与 tetrad $ E^a $ 施加实性条件，并假设星积具有三重循环性，以确保作用量泛函为实值。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地形式化由共链扭曲量子化产生的非结合空间上的微分几何？
• RQ2 在平凡向量丛上的非结合几何中，双模运算、联络与曲率的显式表达式是什么？
• RQ3 如何在非结合时空中构造物理上可行的杨-米尔斯理论与爱因斯坦-嘉当引力作用量泛函？
• RQ4 在偶数与奇数维下，非结合爱因斯坦-嘉当作用量在何种条件下为实值？
• RQ5 星积的三重循环性在确保非结合场论作用量的一致性与实性方面起什么作用？

主要发现

• 本文提供了由共链扭曲量子化导出的非结合空间上平凡向量丛上双模运算的显式表达式。
• 通过扭曲微分学构造了非结合向量丛上的联络及其曲率，曲率由非结合星积定义。
• 杨-米尔斯作用量通过非结合场强 $ F^{ab} $ 构造，作用量泛函以扭曲楔积与霍奇对偶表示。
• 爱因斯坦-嘉当作用量在偶数与奇数维中均通过为 vielbein $ E^{a_i} $ 设定两种不同的括号约定进行构造，确保了正确的反对称化与实性。
• 在满足赫米特扭曲与星积三重循环性的假设下，证明了非结合爱因斯坦-嘉当作用量在偶数与奇数维下均为实值。
• 三重循环性（在阿贝尔扭曲下成立，且在 [25] 中被证明适用于非阿贝尔情形）允许对作用量进行重括号化，从而确认其实性，如公式 (4.18)–(4.20) 与 (4.22) 所示。