[论文解读] Nonassociative geometry and twist deformations in non-geometric string theory

Dionysios Mylonas, Peter Schupp+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2014

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 59被引用 14

一句话总结

该论文提出了一套几何与代数框架，用于非几何弦理论紧化，利用边界在具有扭曲泊松结构的相空间中传播的开膜。通过量化膜σ模型，采用康特舍维奇形式化方法推导出非结合星积，建立了关联与非结合背景之间的塞伯格-威滕映射，并构建了非结合量子力学的一致相空间形式，其基本时空不确定性由R-通量控制。

ABSTRACT

We describe nonassociative deformations of geometry probed by closed strings in non-geometric flux compactifications of string theory. We show that these non-geometric backgrounds can be geometrised through the dynamics of open membranes whose boundaries propagate in the phase space of the target space compactification, equiped with a twisted Poisson structure. The effective membrane target space is determined by the standard Courant algebroid over the target space twisted by an abelian gerbe in momentum space. Quantization of the membrane sigma-model leads to a proper quantization of the non-geometric background, which we relate to Kontsevich's formalism of global deformation quantization that constructs a noncommutative nonassociative star product on phase space. We construct Seiberg-Witten type maps between associative and nonassociative backgrounds, and show how they may realise a nonassociative deformation of gravity. We also explain how this approach is related to the quantization of certain Lie 2-algebras canonically associated to the twisted Courant algebroid, and cochain twist quantization using suitable quasi-Hopf algebras of symmetries in the phase space description of R-space which constructs a Drinfel'd twist with non-trivial 3-cocycle. We illustrate and apply our formalism to present a consistent phase space formulation of nonassociative quantum mechanics.

研究动机与目标

• 为标准黎曼几何失效的非几何弦紧化提供几何与代数描述。
• 表明非结合时空几何的形变自然源于具有扭曲泊松结构的相空间中开膜的动力学。
• 通过从膜量化导出的非结合星积，构建非结合量子力学的一致相空间形式。
• 通过具有非平凡3-上循环的拟霍普夫代数，将非结合背景与李2代数及上循环扭曲量化联系起来。
• 在非几何设定下，建立关联与非结合几何之间的塞伯格-威滕型映射，实现引力的形变。

提出的方法

• 利用动量空间中由阿贝尔gerbe扭变的柯朗代数胚，定义开膜的有效目标空间。
• 应用膜σ模型，通过康特舍维奇的全局形变量化形式化方法，在相空间上推导出非结合星积。
• 对星积施加2-循环性与3-循环性条件，以确保与量子力学期望值和正性的一致性。
• 利用底层的扭曲泊松结构，构建关联与非结合背景之间的塞伯格-威滕映射。
• 通过具有非平凡3-上循环的R-空间对称性中的拟霍普夫代数，将形式化与上循环扭曲量化联系起来。
• 推导海森堡型运动方程，在非结合相空间框架下定义态与可观测量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何一致地几何化具有非结合时空结构的非几何弦背景？
• RQ2 开膜在相空间中实现非结合几何的作用是什么？
• RQ3 膜σ模型的量化如何导致相空间上的非结合星积？
• RQ4 能否构建非结合量子力学的一致相空间形式，其对时空不确定性意味着什么？
• RQ5 塞伯格-威滕映射在非几何弦理论背景下如何关联关联与非结合几何？

主要发现

• 开膜的有效目标空间是目标空间上的标准柯朗代数胚，由动量空间中的阿贝尔gerbe扭变。
• 膜σ模型的量化在相空间上产生非结合星积，实现了康特舍维奇的全局形变量化形式化。
• 非结合星积在积分下满足2-循环性与3-循环性，确保与量子力学概率和正性的一致性。
• 非结合量子力学中的不确定关系受R-通量影响，面积与体积算符具有非零期望值：⟨A^{ij}⟩ = ℏ R^{ijk} ⟨p_k⟩ 与 ⟨V^{ijk}⟩ = (3/2)ℏ² R^{ijk}。
• R-通量非零的坐标三元组（R^{ijk} ≠ 0）不具有共同本征态，表明在时空中定位事件存在根本限制。
• 该形式化通过具有非平凡3-上循环的拟霍普夫代数实现引力的非结合形变，结合塞伯格-威滕映射与上循环扭曲量化。