[论文解读] Wrapped Floer cohomology and Lagrangian correspondences

Yuan Gao|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文在Liouville流形中的拉格朗日子对应关系基础上，建立了缠绕弗洛尔上同调范畴的函子性框架，证明了此类对应关系的几何复合在编织缠绕弗洛尔上同调中通过一个典范同构表示了诱导的函子。关键贡献在于在乘积流形上建立了两种缠绕弗洛尔上同调版本之间的拟同构，从而实现了通过几何复合表示函子。

ABSTRACT

We study Lagrangian correspondences between Liouville manifolds and construct functors between wrapped Fukaya categories. The study naturally brings up the question on comparing two versions of wrapped Fukaya categories of the product manifold, which we prove quasi-isomorphism on the level of wrapped Floer cohomology. To prove representability of these functors constructed from Lagrangian correspondences, we introduce the geometric compositions of Lagrangian correspondences under wrapping, as new classes of objects in the wrapped Fukaya category, which we prove to represent the functors by establishing a canonical isomorphism of quilted version of wrapped Floer cohomology under geometric composition.

研究动机与目标

• 通过在Liouville流形之间使用拉格朗日子对应关系作为态射，将辛拓扑中的函子性扩展至辛同胚之外。
• 解决在缠绕弗洛伊德范畴设定下，由拉格朗日子对应关系诱导的函子缺乏表示性的问题。
• 在编织缠绕弗洛尔上同调与几何复合之间建立典范同构，证明此类函子的表示性。
• 通过比较乘积流形上两种缠绕弗洛尔上同调版本，解决在定义缠绕弗洛伊德范畴之间函子时的基础性问题。
• 将Wehrheim-Woodward的编织弗洛尔理论推广至非紧、缠绕设定，确保在几何复合下的一致性。

提出的方法

• 将Wehrheim和Woodward的编织弗洛尔上同调框架适配至Liouville流形中的缠绕设定，使用在编织曲面上的非齐次伪全纯映射。
• 将拉格朗日子对应关系的几何复合定义为缠绕弗洛伊德范畴中的一类新对象，通过在不同区域间粘合伪全纯映射构造而成。
• 在几何复合的缠绕弗洛尔上同调与诱导函子的态射空间之间建立典范同构，证明表示性。
• 使用在带 puncture 的黎曼曲面上非齐次伪全纯映射的定向理论，通过显式计算定向线 bundle $ o_{ heta}^{-} $, $ o_{( heta^0, heta^1)}^{-1} $ 和 $ o_e $。
• 应用在带标记点和条带状端点的边界分量上线性化柯西-黎曼算子的粘合公式，以关联编织映射的模空间。
• 通过构造分裂哈密顿量与可接受哈密顿量之间的同伦，证明乘积流形上两种缠绕弗洛尔上同调版本之间的拟同构，确保在哈密顿量形变下的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Liouville流形之间的拉格朗日子对应关系是否能诱导其缠绕弗洛伊德范畴之间的良好定义的 $ A_∞ $-函子？
• RQ2 由拉格朗日子对应关系诱导的函子是否能通过缠绕弗洛伊德范畴内的几何复合来表示？
• RQ3 在乘积流形上，通过分裂哈密顿量与可接受哈密顿量定义的两种缠绕弗洛尔上同调版本之间有何关系？
• RQ4 编织弗洛尔上同调在编码与拉格朗日子对应关系相关的函子复合中起什么作用？
• RQ5 如何在编织曲面上一致地定义并粘合非齐次伪全纯映射模空间上的定向数据？

主要发现

• 拉格朗日子对应关系的几何复合通过编织缠绕弗洛尔上同调的典范同构，在缠绕弗洛伊德范畴中表示了该对应关系所诱导的函子。
• 在乘积流形上建立了两种缠绕弗洛尔上同调版本之间的拟同构，一个使用分裂哈密顿量，另一个使用可接受哈密顿量，确保了在哈密顿量形变下的不变性。
• 非齐次伪全纯编织映射的模空间具有典范定向，由定向线的张量积给出：$ \bigwedge^{\text{top}} T\tilde{\nabla} \to o_{(\theta^0,\theta^1)}^{-1} \bigotimes o_e \bigotimes o_\theta $。
• 编织映射模空间的定向与条带和弦的分量模空间的定向一致，通过柯西-黎曼算子的粘合公式验证。
• 通过拉格朗日子对应关系构造函子是良好定义的，且不依赖于自旋结构和典范 bundle 的平凡化选择。
• 正是通过几何复合实现了函子的表示性，其作为实现缠绕弗洛伊德范畴中态射空间的普遍对象。