[论文解读] Yangians and cohomology rings of Laumon spaces

Boris Feigin, Michael Finkelberg+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文通过自然对应关系，在仿射劳姆昂空间的等变上同调上构造了仿射杨代数的作用，将固定点基识别为仿射盖尔范德-采特林基，并证明了希克泽克模空间的上同调环嵌入到该上同调中，作为 $\mathfrak{gl}_n$ 杨代数中心的像。希克泽克空间上行列式线丛的一阶陈类在仿射杨代数中被实现为非交换幂和，从而在代数几何中实现了表示论结构的几何实现。

ABSTRACT

Laumon moduli spaces are certain smooth closures of the moduli spaces of maps from the projective line to the flag variety of $GL_n$. We construct the action of the Yangian of $sl_n$ in the cohomology of Laumon spaces by certain natural correspondences. We construct the action of the affine Yangian (two-parametric deformation of the universal enveloping algebra of the universal central extension of $sl_n[s^{\pm1},t]$) in the cohomology of the affine version of Laumon spaces. We compute the matrix coefficients of the generators of the affine Yangian in the fixed point basis of cohomology. This basis is an affine analogue of the Gelfand-Tsetlin basis. The affine analogue of the Gelfand-Tsetlin algebra surjects onto the equivariant cohomology rings of the affine Laumon spaces. The cohomology ring of the moduli space $M_{n,d}$ of torsion free sheaves on the plane, of rank $n$ and second Chern class $d$, trivialized at infinity, is naturally embedded into the cohomology ring of certain affine Laumon space. It is the image of the center $Z$ of the Yangian of $gl_n$ naturally embedded into the affine Yangian. In particular, the first Chern class of the determinant line bundle on $M_{n,d}$ is the image of a noncommutative power sum in $Z$.

研究动机与目标

• 通过自然对应关系，在仿射劳姆昂空间的等变上同调上构造仿射杨代数的作用。
• 在仿射劳姆昂空间的固定点上同调中定义并研究盖尔范德-采特林基的仿射类比。
• 将希克泽克层模空间 $\mathfrak{M}_{n,d}$ 的上同调环实现为 $\mathfrak{gl}_n$ 杨代数中心在仿射杨代数中的自然嵌入的像。
• 计算仿射杨代数生成元在固定点基下的矩阵系数，明确将其与非交换幂和联系起来。

提出的方法

• 通过类似于在 quiver 变体中使用的方法，利用自然对应关系，在仿射劳姆昂空间 $\mathcal{P}_{\underline{d}}$ 的局部化等变上同调上构造仿射杨代数 $\widehat{Y}$ 的作用。
• 将仿射劳姆昂空间上同调的固定点基识别为仿射盖尔范德-采特林基，推广了 $U(\mathfrak{gl}_n)$ 的经典盖尔范德-采特林基。
• 在固定点基下计算 $\widehat{Y}$ 的德林生成元的矩阵系数，用涉及等变参数和度数的有理函数表达它们。
• 证明仿射盖尔范德-采特林代数满射到 $\mathcal{P}_{\underline{d}}$ 的等变上同调环，从而建立该交换子代数的几何实现。
• 通过 $T$-等变映射将希克泽克模空间 $\mathfrak{M}_{n,d}$ 的上同调环嵌入到 $\mathcal{P}_{d,\ldots,d}$ 的上同调中，并证明该嵌入源于 $Y(\mathfrak{gl}_n)$ 的中心。
• 在仿射杨代数中将 $\mathfrak{M}_{n,d}$ 上行列式线丛的一阶陈类实现为非交换幂和，显式计算其在固定点上的特征值。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过几何对应关系使仿射杨代数作用于仿射劳姆昂空间的上同调？
• RQ2 仿射劳姆昂空间上同调中固定点基的结构是什么？它如何推广经典盖尔范德-采特林基？
• RQ3 希克泽克模空间 $\mathfrak{M}_{n,d}$ 的上同调环如何在仿射劳姆昂空间的上同调中实现？
• RQ4 $\mathfrak{gl}_n$ 杨代数的中心在层模空间上同调类中的几何意义是什么？
• RQ5 仿射杨代数中的非交换幂和与如行列式线丛的一阶陈类等特征类之间有何关系？

主要发现

• 仿射杨代数 $\widehat{Y}$ 通过自然对应关系作用于仿射劳姆昂空间 $\mathcal{P}_{\underline{d}}$ 的局部化等变上同调，推广了先前在 quiver 变体上的作用。
• 仿射劳姆昂空间 $\mathcal{P}_{\underline{d}}$ 的上同调的固定点基被识别为仿射盖尔范德-采特林基，其德林生成元的矩阵系数以等变参数的有理函数形式显式计算。
• 仿射盖尔范德-采特林代数满射到 $\mathcal{P}_{\underline{d}}$ 的等变上同调环，从而提供了该交换子代数的几何实现。
• 希克泽克模空间 $\mathfrak{M}_{n,d}$ 的上同调环作为 $Y(\mathfrak{gl}_n)$ 的中心 $ZY(\mathfrak{gl}_n)$ 的像，嵌入到 $\mathcal{P}_{d,\ldots,d}$ 的上同调中。
• 行列式线丛在 $\mathfrak{M}_{n,d}$ 上的一阶陈类在仿射杨代数中被实现为非交换幂和，其在固定点上的特征值由涉及 $\Phi_{n,r}$ 和等变参数的有理表达式给出。
• 一阶陈类算子的特征值显式计算为 $\frac{-2\Phi_{n,3}+3(\hbar-\hbar')\Phi_{n,2}-2\sum_{j=1}^{n}(x_j+\hbar')^3-3(\hbar-\hbar')\sum_{j=1}^{n}(x_j+\hbar')^2}{12\hbar\hbar'}+\sum_{j=1}^{n}x_j$，确认了非交换幂和的几何起源。