[论文解读] Yoneda lemma for enriched infinity categories

Vladimir Hinich|arXiv (Cornell University)|May 19, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用 9

一句话总结

本文通过富化小路的张量范畴，建立了一个富化 ∞-范畴的 Yoneda 引理，表明该范畴中的结合代数对应于富化 ∞-范畴。本文在该背景下证明了 Yoneda 引理，并将其应用于研究高阶 ∞-范畴中的对应关系，特别是当富化范畴配备有乘积结构时。

ABSTRACT

We continue the study of enriched infinity categories, using a definition equivalent to that of Gepner and Haugseng. In our approach enriched infinity categories are associative monoids in an especially designed monoidal category of enriched quivers. We prove that, in case the monoidal structure in the basic category M comes from direct product, our definition is essentially equivalent to the approach via Segal objects. Furthermore, we compare our notion with the notion of category left-tensored over M, and prove a version of Yoneda lemma in this context. Version 2: An error in 2.6.2 corrected. Version 3: a few minor corrections. Version 4: Section 8 added, describing correspondences of enriched categories. In case the basic monoidal category M is a prototopos with a cartesian structure, we prove that the category of correspondences is equivalent to the category of enriched categories over [1]. Version 5: terminology changed (former bicartesian fibrations became bifibrations), a few misprints corrected. Version 6: Section 2.11 added, dealing with operadic sieves. A number of corrections and clarifications made per referee's request. Version 7: final version, accepted to Advances in Math. Version 8: a minor correction of 2.8.9-2.8.10.

研究动机与目标

• 开发一种基于富化小路的张量范畴中结合代数的、与模型无关的富化 ∞-范畴框架。
• 在富化于张量 ∞-范畴 M 的 ∞-范畴背景下建立 Yoneda 引理，尤其当 M 具有乘积结构时。
• 将所提出的定义与 Segal 类型的定义进行比较，也与在 M 上左张量化的范畴进行比较。
• 将 Yoneda 引理应用于富化 ∞-范畴中对应关系的研究，特别是在高阶范畴与导出几何的语境中。

提出的方法

• 将富化 ∞-范畴定义为富化小路的张量范畴中的结合代数，通过与平坦平面操作符的张量积的右伴随构造。
• 使用操作符 $Φ_{\text{Ass}}$ 定义具有给定对象空间的小路，推广 Gepner-Haugseng 的方法。
• 引入 $Φ_{\text{BM}}$-操作符结构以建模小路上的左作用与右作用，从而支持函子与模结构的定义。
• 构造一个保持特殊图（类比于笛卡尔图）的函子范畴，该图编码了 Yoneda 条件。
• 使用右凯恩扩张与局部化技术，证明保持特殊图的函子由其限制唯一确定。
• 通过比较 $Φ_{\text{LM}}$ 上笛卡尔族的纤维，验证 Yoneda 同构，将问题约化为基情形下的乘积与截面范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在富化于张量 ∞-范畴 M 的 ∞-范畴设定下，表述并证明 Yoneda 引理？
• RQ2 当 M 具有乘积结构时，基于小路的富化 ∞-范畴定义与 Segal 类型定义之间有何关系？
• RQ3 富化 ∞-范畴与在 M 上左张量化的范畴之间有何关系？它们继承了何种结构？
• RQ4 Yoneda 引理能否应用于研究富化 ∞-范畴之间的对应关系，特别是在高阶范畴设定下？
• RQ5 操作符中的内部 Hom 扮演何种角色？它如何支持富化函子与模的构造？

主要发现

• 当富化范畴 M 是具有足够上积的张量 ∞-范畴时，将富化 ∞-范畴定义为富化小路范畴中的结合代数，与 Gepner-Haugseng 的定义等价。
• 当 M 上的张量结构由直积给出时，基于小路的定义与 ∞-范畴的 Segal 类型定义等价。
• 保持特殊图（广义笛卡尔图）的函子范畴与定义在全子范畴上的函子范畴等价，表明此类函子由其在一个余稠密子范畴上的取值唯一确定。
• 在该富化设定下，Yoneda 引理成立：将每个对象映射到其表示预层的函子是全忠实的，且其全像由对特殊图的保持性刻画。
• 操作符中内部 Hom 的构造使得富化 ∞-范畴之间函子范畴的精确描述成为可能，尤其通过右凯恩扩张实现。
• 对 $Φ_{\text{LM}}$ 上笛卡尔族的纤维比较表明，Yoneda 映射是同构，其纤维被识别为乘积与截面范畴，从而确认在富化语境下 Yoneda 嵌入是全忠实的。