[论文解读] Zimmer's conjecture for actions of $\mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$

Aaron Brown, David Fisher+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文证明了关于 $\ mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ 的有限指数子群在维度 $\leq m-2$ 的紧致流形上的 $C^2$ 作用的齐默猜想，建立了导数的统一亚指数增长。该证明通过引入卢波茨基-莫泽-拉古纳塔南分解、非退化性非抛物轨道以及非一致格的强 (T) 性质，将共 compact 情况下的方法扩展至非一致格，最终证明此类作用的像必为有限群。

ABSTRACT

We prove Zimmer's conjecture for $C^2$ actions by finite-index subgroups of $\mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ provided $m>3$. The method utilizes many ingredients from our earlier proof of the conjecture for actions by cocompact lattices in $\mathrm{SL}(m,\mathbb{R})$ but new ideas are needed to overcome the lack of compactness of the space $(G imes M)/Γ$ (admitting the induced $G$-action). Non-compactness allows both measures and Lyapunov exponents to escape to infinity under averaging and a number of algebraic, geometric, and dynamical tools are used control this escape. New ideas are provided by the work of Lubotzky, Mozes, and Raghunathan on the structure of nonuniform lattices and, in particular, of $\mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ providing a geometric decomposition of the cusp into rank one directions, whose geometry is more easily controlled. The proof also makes use of a precise quantitative form of non-divergence of unipotent orbits by Kleinbock and Margulis, and an extension by de la Salle of strong property (T) to representations of nonuniform lattices.

研究动机与目标

• 建立 $\ mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ 的有限指数子群在维度 $\leq m-2$ 的流形上的 $C^2$ 作用的导数统一亚指数增长。
• 通过克服商空间 $G/\Gamma$ 的非紧性带来的挑战，将共 compact 格的证明策略扩展至非一致格，特别是 $\ mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$。
• 通过非一致格的强 (T) 性质证明此类作用保持一个连续的黎曼度量，从而因幂零元素的存在导致像为有限群。
• 解决一个关键的非一致情况下的猜想，为非一致格的完整齐默计划奠定基础。
• 应用非抛物轨道的定量非退化性以及尖点的几何分解，以控制非紧设置下的李雅普诺夫指数和测度逃逸。

提出的方法

• 利用纤维丛构造 $M^\alpha = (G \times M)/\Gamma$ 将作用提升至 $G/\Gamma$ 上的紧致纤维丛上的 $G$-作用，从而可应用动力系统与几何工具。
• 应用卢波茨基-莫泽-拉古纳塔南对 $\ mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ 尖点的秩一方向分解，以控制非紧区域的几何结构。
• 采用克莱因博克与马加利斯的非抛物轨道定量非退化性，经德拉萨勒扩展，以防止测度与李雅普诺夫指数逃逸至无穷远。
• 利用德拉萨勒关于非一致格的强 (T) 性质，推导出 $M$ 上存在连续的 $\Gamma$-不变黎曼度量，从而迫使 $\Gamma$ 的像为有限群。
• 应用齐默的上挠率刚性与逐纤维李雅普诺夫指数分析，当最大李雅普诺夫指数非零时，在维数约束下导出矛盾。
• 利用福尔纳序列与在膨胀的水平面方向上的平均化论证，控制导数增长并推导出统一的亚指数界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 $\ mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ 在维度 $\leq m-2$ 的流形上的 $C^2$ 作用建立导数的统一亚指数增长？
• RQ2 如何控制非一致格 $G/\Gamma$ 的非紧性，以防止动力系统中测度与李雅普诺夫指数的逃逸？
• RQ3 共 compact 格的策略（如 [BFH] 中所述）在多大程度上可被适配至非一致格（如 $\ mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$）？
• RQ4 能否利用尖点的秩一方向几何分解，以改进对幂零流与对角流的分析？
• RQ5 非一致格的强 (T) 性质是否意味着在 $C^2$ 作用下存在连续不变度量？

主要发现

• 当 $m \geq 4$ 时，$\ mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ 的任意有限指数子群在维度 $\leq m-2$ 的紧致流形上的 $C^2$ 作用，其导数具有统一亚指数增长。
• 对于维度 $\leq m-1$ 的体积保持 $C^2$ 作用，同样成立统一亚指数增长。
• 通过德拉萨勒关于非一致格的强 (T) 性质，结合收敛过程中的正测度，推导出存在连续的 $\Gamma$-不变黎曼度量。
• 此类作用的像必为有限群，因为 $\ mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ 中的幂零元素在任意紧致李群中的像均为有限群。
• 当假设最大逐纤维李雅普诺夫指数非零时，由于维数约束与齐默的上挠率刚性，导出矛盾。
• 证明表明 $M^\alpha$ 上测度的弱-$*$ 极限是 $\ mathrm{SL}(m,\mathbb{R})$-不变的，与纤维维数界限矛盾。