[論文レビュー] (1+1)-dimensional formalism and quasi-local conservation equations

Jong Hyuk Yoon|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ファイバー束幾何学を用いて3+1次元一般相対性理論の(1+1)次元還元を定式化し、エネルギー、線形運動量、角運動量の正確な準局所保存則を不変な2次元表面積分として導出する。これらの保存則は、光的無限遠点においてBondi型のフラックスに還元され、一般相対性理論の準局所的ホライズンにおいてPrice-Thorneのストレッチドホライズン方程式と一致する。Carterの第4定数の新しい準局所的類似が、キリング対称性よりも弱い条件下で出現する。

ABSTRACT

A set of exact quasi-local conservation equations is obtained in the (1+1)-dimensional description of the Einstein's equations of (3+1)-dimensional spacetimes. These equations are interpreted as quasi-local energy, linear momentum, and angular momentum conservation equations. In the asymptotic region of asymptotically flat spacetimes, it is shown that these quasi-local conservation equations reduce to the conservation equations of Bondi energy, linear momentum, and angular momentum, respectively. When restricted to the quasi-local horizon of a generic spacetime, which is defined without referring to the infinity, the quasi-local conservation equations coincide with the conservation equations on the stretched horizon studied by Price and Thorne. All of these quasi-local quantities are expressed as invariant two-surface integrals, and geometrical interpretations in terms of the area of a given two-surface and a pair of null vector fields orthogonal to that surface are given.

研究の動機と目的

• 座標(u,v)とファイバー座標(y^a)を用いたファイバー束構造を用いて、3+1次元アインシュタイン重力の(1+1)次元形式を構築すること。
• コンactな2次元表面に定義され、幾何学的に不変であるエネルギー、運動量、角運動量の正確な準局所的保存方程式を導出すること。
• 漸近的に平坦な時空において、これらの準局所的保存方程式が未来の光的無限遠点で標準的なBondi保存則に還元されることを示すこと。
• 一般の動的時空の準局所的ホライズン上でのPriceとThorneが提唱したストレッチドホライズン保存則と同等であることを示すこと。
• キリング対称性よりも弱い条件下で、Carterの第4定数の準局所的類似が存在することを特定すること。

提案手法

• 光的座標(u,v)、ファイバー座標(y^a)、接続1形式(A_±^a)を用いた線素計量を導入し、3+1次元計量を(1+1)次元ベースと2次元ファイバーに分解する。
• ファイバーに直交する水平ベクトル場(ĥ∂₊, ĥ∂₋)を導入し、ĥ∂₋に沿ってvがアフィンパラメータとして定義され、光的超曲面を定義する。
• 面積要素e^σと行列式が1である共形計量ρ_abを含む不変2次元表面積分を用いて、準局所的量を定義する。
• vを時間とする(1+1)次元ハミルトニアン形式を解析し、コンパクトな2次元表面における積分微分方程式を導出する。
• 2次元表面上のベクトル場ξ^aに沿ったリー微分を用いてフラックス方程式を導出し、共変微分とせん断テンソルを用いる。
• ∂₊A₊^a = 0の条件下で、Carterの第4定数に類似した新しい準局所的不変量を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3+1次元一般相対性理論の(1+1)次元還元において、エネルギー、運動量、角運動量の準局所的保存則を導出できるか？
• RQ2 漸近的に平坦な時空において、これらの準局所的保存則は未来の光的無限遠点で標準的なBondiフラックスに還元されるか？
• RQ3 一般の動的ブラックホールに対してPriceとThorneが提唱したストレッチドホライズンの保存則を再現できるか？
• RQ4 準局所的量の幾何学的・物理的解釈は、光的幾何学と表面不変量の観点からどのように説明できるか？
• RQ5 Carterの第4定数の準局所的類似は存在するか？また、完全なキリング対称性よりも弱い条件下ではどのような条件で存在するか？

主な発見

• 準局所的エネルギー、運動量、角運動量は、面積要素e^σと共形計量ρ_abを含む不変2次元表面積分として表現される。
• 光的無限遠点において、導出された準局所的保存則は、正確にBondiエネルギー、運動量、角運動量フラックスを再現する。
• 準局所的ホライズン上では、PriceとThorneのストレッチドホライズン保存則と一致し、動的状況下での形式の妥当性が裏付けられる。
• 本形式は、Carterの第4定数に類似した新しい準局所的不変量を導出し、これは2つの可換キリングベクトルを要件としない∂₊A₊^a = 0の条件下で成立する。
• せん断テンソルσ_Habと発散θ_Hはフラックス方程式に自然に現れ、後者は表面幾何の時間発展を支配する。
• 同一フラックスを表す2つの異なる表現の等価性が確認され、(1+1)次元ハミルトニアンアプローチの整合性が裏付けられる。