[論文レビュー] 1-bounded entropy and regularity problems in von Neumann algebras

Ben Hayes|arXiv (Cornell University)|May 25, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 33被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、トレース付きフォン・ノイマン代数における特異部分空間 $Σ_s(N\subseteq M)$ を導入し、正規化子や準正規化子を一般化する。また、この部分空間が $M$ を生成する条​​件としてスペクトル正則性を定義する。ヴォイキュレスクのマイクロステート自由エントロピー次元を用いて、$L(\mathbb{F}_n)$ の拡張的かつヒルベルト型部分代数はスペクトル正則にはなり得ないことを証明し、$L(\mathbb{F}_n)$ で終わるスペクトル正則包含の超限列の存在を排除する。これにより、$\mathrm{II}_1$-因子の滑らかなコホモロジーに関する予想が解決される。

ABSTRACT

We investigate the singular subspace of an inclusion of tracial von Neumann algebras. The singular subspace is a canonical N-N subbimodule of L^{2}(M) and it contains the quasinormalizer introduced by Popa, one-sided quasinormalizer introduced by Fang-Gao-Smith, and wq-normalizer introduced in Galatan-Popa (following upon work in Ioana-Peterson-Popa and Popa). We then obtain a weak notion of regularity (called spectral regularity) by demanding that the singular subspace of N in M generates M. By abstracting Voiculescu's original proof of absence of Cartan subalgebras, we show that there can be no diffuse, hyperfinite subalgebra of L(\FF_{n}) which is spectrally regular. Our techniques are robust enough to repeat this process by transfinite induction and rule out chains of spectrally regular inclusions of algebras starting from a diffuse, hyperfinite algebra and ending in L(\FF_{n}). We use this to prove some conjectures made by Galatan-Popa in their study of smooth cohomology of II_{1}-factors. Our results may be regarded as a consistency check for the possibility of existence of a "good" cohomology theory of II_{1}-factors. Lastly, we deduce nonisomorphism results for crossed products of q-deformed free group factors by Bogoliubov actions, as well as for the continuous core of q-deformed Free Araki-Woods algebras. This extends work of Houdayer-Shlyakhtenko as well as Shlyakhtenko.

研究の動機と目的

• 特異部分空間 $\mathcal{H}_s(N\subseteq M)$ を、$L^2(M)$ の $N$-$N$-部分双加法的加群として定義し、準正規化子および片側準正規化子を含む自然な $N$-$N$-部分双加法的加群としての役割を果たす。
• 古典的な正規化子条件を一般化する、特異部分空間が $M$ を生成するという弱い正則性条件としてのスペクトル正則性を導入する。
• ヴォイキュレスクのマイクロステート自由エントロピー次元の議論を拡張し、$L(\mathbb{F}_n)$ の中で拡張的かつヒルベルト型な部分代数 $N$ に対して、$N\subseteq L(\mathbb{F}_n)$ ならば $\mathcal{H}_s(N\subseteq L(\mathbb{F}_n)) \neq L^2(L(\mathbb{F}_n))$ であることを示し、$N$ がスペクトル正則でないことを証明する。
• 超限帰納法を用いて、各 $N_\beta = W^*(q^1\mathcal{N}_M(N_{\beta-1}))$ を満たす包含列 $N_0 \subseteq N_1 \subseteq \cdots \subseteq N_\alpha = L(\mathbb{F}_n)$ に対して、$N_\alpha \neq L(\mathbb{F}_n)$ であることを示し、$L(\mathbb{F}_n)$ へのスペクトル正則包含の超限列の存在を排除する。
• 自由アラキ＝ウッドズ因子 $\Gamma(\mathcal{H},U_t)''$ にこの枠組みを適用し、$U_t$ の生成子のスペクトル測度が特異であるとき、$\Gamma(\mathcal{H},U_t)''$ が $L(\mathbb{F}_t)\overline{\otimes}B(\ell^2(\mathbb{N}))$ に同型でないことを証明する。

提案手法

• 特異部分空間 $\mathcal{H}_s(N\subseteq M)$ を、準正規化条件を満たす元によって生成される $L^2(M)$ の閉 $N$-$N$-部分双加法的加群として定義する。
• スペクトル正則性を、$W^*(\mathcal{H}_s(N\subseteq M)) = M$ であるという条件として定義し、古典的正則性を弱めたものとする。
• ヴォイキュレスクのマイクロステート自由エントロピー次元の議論を適応し、$N\subseteq L(\mathbb{F}_n)$ が拡張的かつヒルベルト型であれば、$\mathcal{H}_s(N\subseteq L(\mathbb{F}_n)) \neq L^2(L(\mathbb{F}_n))$ であることを示し、$N$ がスペクトル正則でないことを証明する。
• 超限帰納法を用いて、各 $N_\beta = W^*(q^1\mathcal{N}_M(N_{\beta-1}))$ を満たす包含列 $N_0 \subseteq N_1 \subseteq \cdots \subseteq N_\alpha = L(\mathbb{F}_n)$ に対して、すべての $\alpha$ に対して $N_\alpha \neq L(\mathbb{F}_n)$ であることを示し、$L(\mathbb{F}_n)$ へのスペクトル正則包含の超限列の存在を排除する。
• 自由アラキ＝ウッドズ因子 $\Gamma(\mathcal{H},U_t)''$ にこの枠組みを適用し、$U_t$ の生成子のスペクトル測度が特異であるとき、$\Gamma(\mathcal{H},U_t)''$ が $L(\mathbb{F}_t)\overline{\otimes}B(\ell^2(\mathbb{N}))$ に同型でないことを証明する。
• $\varepsilon$-ネットと $L^2$-ノルムにおけるエントロピーの境界を用いた推定により、近似の複雑さを制御し、非同型性を示すエントロピー不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張的かつヒルベルト型な $L(\mathbb{F}_n)$ の部分代数は、特異部分空間によって全体 $M$ を生成できるか、すなわちスペクトル正則であるか？
• RQ2 拡張的ヒルベルト型代数から出発し、$L(\mathbb{F}_n)$ で終わるスペクトル正則包含の超限列は存在するか？
• RQ3 特異部分空間の構成は、このような列の排除および $\mathrm{II}_1$-因子の滑らかなコホモロジーに関する予想の解決に一貫した枠組みを提供するか？
• RQ4 自由アラキ＝ウッドズ因子 $\Gamma(\mathcal{H},U_t)''$ の連続的コアは、$U_t$ の生成子のスペクトル測度が特異であるとき、$L(\mathbb{F}_t)\overline{\otimes}B(\ell^2(\mathbb{N}))$ に同型であるか？
• RQ5 $L(\mathbb{F}_n)$ に用いられたエントロピーに基づく手法を、自由ボゴリューボフ作用による交叉積へ拡張し、非同型性を示すことができるか？

主な発見

• 拡張的かつヒルベルト型な $L(\mathbb{F}_n)$ の部分代数は、特異部分空間が $L(\mathbb{F}_n)$ を生成しないため、スペクトル正則でない。
• 拡張的ヒルベルト型代数から $L(\mathbb{F}_n)$ へのスペクトル正則包含の超限列は存在しない。各段階で次の代数を生成できないためである。
• スペクトル測度が特異であるとき、自由アラキ＝ウッドズ因子 $\Gamma(\mathcal{H},U_t)''$ の連続的コアは $L(\mathbb{F}_t)\overline{\otimes}B(\ell^2(\mathbb{N}))$ に同型でない。
• この結果は、スペクトル測度のすべての畳み込み累乗が特異である必要がないという点で、以前の非同型定理を強化する。
• ガラタヌ＝ポーパの $\mathrm{II}_1$-因子の滑らかなコホモロジーに関する予想は、このような列の非存在を示すことで解決され、$\mathrm{II}_1$-因子に対する良いコホモロジー理論の整合性を支持する。