[論文レビュー] $(Δ+1)$ Coloring in the Congested Clique Model

Merav Parter|arXiv (Cornell University)|May 7, 2018

Advanced Algebra and Logic被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、度数削減技術と${\mathsf{LOCAL}}$モデルの最新進展を活用して、$O(\log\log\Delta \cdot \log^{*}\Delta)$ラウンドで実行される、帯域幅制限のあるコンフスドクラウドモデルにおけるランダム化$(\Delta+1)$頂点彩色アルゴリズムを提示する。また、より優れたラウンド複雑性を達成する決定的および近似彩色バリエーションも提供しており、コンフスドクラウドにおける帯域幅制限が$(\Delta+1)$彩色の対称性打破を効率的に行うのを妨げないことを示している。

ABSTRACT

In this paper, we present improved algorithms for the $(Δ+1)$ (vertex) coloring problem in the Congested-Clique model of distributed computing. In this model, the input is a graph on $n$ nodes, initially each node knows only its incident edges, and per round each two nodes can exchange $O(\log n)$ bits of information. Our key result is a randomized $(Δ+1)$ vertex coloring algorithm that works in $O(\log\log Δ\cdot \log^* Δ)$-rounds. This is achieved by combining the recent breakthrough result of [Chang-Li-Pettie, STOC'18] in the \local\ model and a degree reduction technique. We also get the following results with high probability: (1) $(Δ+1)$-coloring for $Δ=O((n/\log n)^{1-ε})$ for any $ε\in (0,1)$, within $O(\log(1/ε)\log^* Δ)$ rounds, and (2) $(Δ+Δ^{1/2+o(1)})$-coloring within $O(\log^* Δ)$ rounds. Turning to deterministic algorithms, we show a $(Δ+1)$-coloring algorithm that works in $O(\log Δ)$ rounds.

研究の動機と目的

• 帯域幅制限のあるコンフスドクラウドモデルにおける$(\Delta+1)$頂点彩色のラウンド複雑性のギャップを埋めること。
• コンフスドクラウドの全対全通信能力が帯域幅制限を補って、$(\Delta+1)$彩色のためのサブログラスラウンド複雑性を達成できるかを特定すること。
• ${\mathsf{LOCAL}}$モデルにおける最近のブレークスルーを、特に$(\Delta+1)$彩色のようなLCL問題に対してコンフスドクラウドに拡張すること。
• ${\mathsf{LOCAL}}$モデルの既知の境界と一致またはそれを上回るランダム化および決定的アルゴリズムを開発すること。

提案手法

• ${\mathsf{LOCAL}}$モデルにおける$(\Delta+1)$リスト彩色の$O(\log^{*}n + \mathsf{Det}_{\deg}(\mathsf{polylog}n))$ラウンドの最新アルゴリズムを、度数削減を用いてコンフスドクラウドに適応する。
• シャッタリングに基づくアプローチを用いる：ノードをランダムに彩色して、$O(1)$ラウンドで全対全通信により解ける小規模で取り扱いやすいコンponentsに分割する。
• ノードを$\ell = O(\Delta^{1/4})$個の部分グラフに$O(1)$-wise 独立なランダム分割を行うことで、各部分グラフの最大次数を制限し、並列彩色を可能にする。
• 条件付き期待値法を用いて分割をデランダマイズし、$O(\log n)$ビットのシードを用いて部分グラフの次数違反を最小限に抑える。
• 同じ部分グラフ内のノード間で色のパレットを効率的に交換するルーティングプリミティブを用い、小規模な次数コンponentsでは$O(1)$ラウンド通信を実現する。
• 分割後の最終残差部分グラフに対して、既知の$(\Delta+1)$-リスト彩色の$O(\log\Delta)$ラウンドアルゴリズム（補題4.5）を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 帯域幅制限があるにもかかわらず、コンフスドクラウドモデルが$(\Delta+1)$頂点彩色においてサブ-$O(\log\Delta)$ラウンド複雑性を達成できるか。
• RQ2 コンフスドクラウドにおける全対全通信が、${\mathsf{LOCAL}}$モデルで大きなメッセージを扱えるのとは対照的に、対称性打破問題における大容量メッセージの欠如を補えるか。
• RQ3 ${\mathsf{LOCAL}}$モデルにおける$(\Delta+1)$彩色の$O(\log^{*}n)$ラウンドのブレークスルーが、小さなメッセージを用いたコンフスドクラウドに適応可能か。
• RQ4 LCL問題（例：$(\Delta+1)$彩色）において、ランダムネス、デランダマイゼーション、ラウンド複雑性の間のトレードオフは何か。
• RQ5 度数削減と部分グラフ分割技術を用いて、コンフスドクラウドで近似的最適な彩色複雑性を達成できるか。

主な発見

• ランダム化$(\Delta+1)$頂点彩色アルゴリズムは$O(\log\log\Delta \cdot \log^{*}\Delta)$ラウンドで実行され、帯域幅制限のあるモデルにおける既存の境界を著しく改善する。
• $\Delta = O((n/\log n)^{1-\epsilon})$の場合、$(\Delta+1)$-彩色は高確率で$O(\log(1/\epsilon)\log^{*}\Delta)$ラウンドで達成される。
• $(\Delta + \Delta^{1/2+o(1)})$-彩色は$O\left(\log^{*}\Delta\right)$ラウンドで計算され、パレットサイズとラウンド複雑性のトレードオフを示している。
• 決定的$(\Delta+1)$-彩色アルゴリズムは$O(\log\Delta)$ラウンドで実行され、デランダマイズド部分グラフ分割と条件付き期待値法により達成される。
• デランダマイゼーションプロセスは$O(\log n)$ビットのシードを用い、条件付き期待値により悪影響を受ける部分グラフ（次数違反の観点から）をゼロに保証し、$O(1)$ラウンドのデランダマイゼーションを可能にする。
• アルゴリズムの構造により、部分グラフの彩色を並列に実行でき、最終的な残差グラフは既知のリスト彩色サブルーチンを用いて$O(\log\Delta)$ラウンドで彩色される。