[論文レビュー] 1--D Schrödinger operators with local interactions on a discrete set

Aleksey Kostenko, M. M. Malamud|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2009

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、点集合 $X = \{x_n\}_{n=1}^\infty$ において、点間の最小距離 $d_* = 0$ である 1次元シュレーディンガー作用素について、$\delta$-および $\delta'$-型の点相互作用を考察する。境界三つ組とウイル・関数を用いて、このような作用素とジャコビ行列の間のスペクトル対応を確立し、$d_* = 0$ の状態において自己共役性、下半有界性、離散性の必要十分条件を導出する。これにより、$d_* > 0$ の場合とは根本的に異なる性質が明らかになる。

ABSTRACT

Spectral properties of 1-D Schrödinger operators $\mathrm{H}_{X,α}:=-\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2} + \sum_{x_{n}\in X}α_nδ(x-x_n)$ with local point interactions on a discrete set $X=\{x_n\}_{n=1}^\infty$ are well studied when $d_*:=\inf_{n,k\in\N}|x_n-x_k|>0$. Our paper is devoted to the case $d_*=0$. We consider $\mathrm{H}_{X,α}$ in the framework of extension theory of symmetric operators by applying the technique of boundary triplets and the corresponding Weyl functions. We show that the spectral properties of $\mathrm{H}_{X,α}$ like self-adjointness, discreteness, and lower semiboundedness correlate with the corresponding spectral properties of certain classes of Jacobi matrices. Based on this connection, we obtain necessary and sufficient conditions for the operators $\mathrm{H}_{X,α}$ to be self-adjoint, lower-semibounded, and discrete in the case $d_*=0$. The operators with $δ'$-type interactions are investigated too. The obtained results demonstrate that in the case $d_*=0$, as distinguished from the case $d_*>0$, the spectral properties of the operators with $δ$ and $δ'$-type interactions are substantially different.

研究の動機と目的

• 点集合 $X$ 上における 1 次元シュレーディンガー作用素の局所的 $\delta$-および $\delta'$-相互作用のスペクトル的性質を、最小距離 $d_* = 0$ のとき、標準的手法が不適応となる状況で分析すること。
• 境界三つ組とウイル・関数の枠組みを用いて、稠密な点相互作用の対象となる対称作用素の自己共役拡張理論を拡張すること。
• このようなシュレーディンガー作用素とジャコビ行列との間の明確なスペクトル的対応を確立し、行列のスペクトルに関する既知の結果を微分作用素の設定に移すことを可能とすること。
• $d_* = 0$ の場合における自己共役性、下半有界性、離散性の必要十分条件を導出し、これらが $d_* > 0$ の場合と顕著に異なることが示されること。

提案手法

• 著者らは、点相互作用を伴うシュレーディンガー作用素に関連する最小対称作用素 $\mathrm{H}_{\min}^*$ の自己共役拡張をパrameter化するために、境界三つ組とウイル・関数の理論を用いる。
• 個々の相互作用点に対する境界三つ組の直和を構成し、相互作用の強さと幾何的配置が特定の条件を満たすとき、その構造が全作用素の境界三つ組をなすことを示す。
• ウイル・関数とクライン型のリゾルベント公式を通じて、シュレーディンガー作用素のスペクトル的性質とジャコビ行列のスペクトル的性質を結びつけることで、スペクトルの転送を可能にする。
• 一般化された境界関係と、無限大の欠損指数を有する非負作用素の拡張理論に依拠する。
• $\delta$-および $\delta'$-相互作用の両方を扱い、後者は修正された境界条件の枠組みを用いて取り扱う。
• 著者らはベレザンスキーの判定基準とジャコビ行列の性質を用いて、欠損指数の数とスペクトル型を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点集合 $X$ 上に $\delta$-相互作用を有する 1 次元シュレーディンガー作用素が $d_* = 0$ のとき、自己共役性であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 $d_* = 0$ の場合と $d_* > 0$ の場合とを比較して、$\delta$-および $\delta'$-相互作用を有する作用素のスペクトル的性質（例えば下半有界性や離散性）はどのように異なるか？
• RQ3 ジャコビ行列のスペクトル理論を用いて、稠密な点相互作用を有するシュレーディンガー作用素のスペクトル型を特徴づけられるか？
• RQ4 相互作用点の幾何的配置（例：$d_n = 1/n$）は、得られる作用素のスペクトル的性質にどのような役割を果たすか？
• RQ5 相互作用の強さ $\alpha_n$ および $\beta_n$ にどのような条件下で作用素 $\mathrm{H}_{X,\alpha}$ が下半有界または離散的となるか？

主な発見

• 作用素 $\mathrm{H}_{X,\alpha}$ が自己共役であるための必要十分条件は、関連するジャコビ行列 $B_{X,\alpha,q_a}$ が自己共役であることである。これにより、直接的なスペクトル的対応が確立される。
• $d_n = 1/n$ および $\alpha_n = -4n - 2$ のとき、作用素 $\mathrm{H}_{X,\alpha,0}$ は自己共役である。これは、稠密な相互作用でも自己共役な実現が可能であることを示している。
• $a_0$ が $\varepsilon_1(a_0) = 2$ を満たすとき、作用素 $\mathrm{H}_{X,\alpha,q_a}$ の欠損指数は $n_\pm = 1$ である。これは、作用素が対称的ではあるが自己共役ではないことを示している。
• シュレーディンガー作用素のスペクトル型は、ジャコビ行列の成分の振る舞いによって決定される。$\{b_n^{-1}\} \in \ell^1$ かつ $b_{n-1}b_{n+1} \leq b_n^2$ ならば、ベレザンスキーの判定基準により $n_\pm = 1$ となる。
• 本研究では、$d_* = 0$ の場合に $\delta$-および $\delta'$-相互作用が根本的に異なるスペクトル的挙動を示すことが明らかになった。これは $d_* > 0$ の場合とは顕著に異なる。
• シュレーディンガー作用素のウイル・関数は、$M_n(z) = R_n^{-1}(\widetilde{M}_n(z) - Q_n)R_n^{-1}$ の関係により、ジャコビ行列のウイル・関数と関連づけられ、これにより行列理論を用いたスペクトル解析が可能になる。