[論文レビュー] 1-way quantum finite automata: strengths, weaknesses and generalizations

Andris Ambainis, Rūsiņš Freivalds|ArXiv.org|Feb 25, 1998

Machine Learning and Algorithms参考文献 9被引用数 36

ひとこと要約

本稿は1-way量子有限オートマトン（QFA）を調査し、古典的オートマトンよりも指数的に少ない状態数で特定の正則言語を認識できることを示している。低確率での受容確率を持つQFAは、可逆的オートマトンよりも強力であり、複数回スキャンや確率的事前処理といった一般化モデルを導入することで、{aⁿbⁿ}のような非正則言語の認識が可能となり、標準的な1-way QFAの制限を克服している。

ABSTRACT

We study 1-way quantum finite automata (QFAs). First, we compare them with their classical counterparts. We show that, if an automaton is required to give the correct answer with a large probability (over 0.98), then the power of 1-way QFAs is equal to the power of 1-way reversible automata. However, quantum automata giving the correct answer with smaller probabilities are more powerful than reversible automata. Second, we show that 1-way QFAs can be very space-efficient. Namely, we construct a 1-way QFA which is exponentially smaller than any equivalent classical (even randomized) finite automaton. This construction may be useful for design of other space-efficient quantum algorithms. Third, we consider several generalizations of 1-way QFAs. Here, our goal is to find a model which is more powerful than 1-way QFAs keeping the quantum part as simple as possible.

研究の動機と目的

• 1-way量子有限オートマトン（QFA）の計算能力を、古典的および可逆的オートマトンと比較して分析すること。
• QFAが特定の正則言語について、古典的有限オートマトンと比較して指数的空間節約を達成できるかどうかを調査すること。
• 標準的な1-way QFAを越える表現力を有するが、小さな量子部品を維持する一般化QFAモデルを設計すること。
• 複数回スキャンや事前処理といった修正が、非正則言語の認識を可能にするかどうかを検討すること。
• QFAにおける受容確率、状態複雑性、計算能力の間のトレードオフを明確にすること。

提案手法

• 受容確率を分析することで、1-way QFAと1-way可逆的オートマトンを比較し、確率が7/9を超えると等価であることを示した。
• 素数pによる割り算の可視性を認識するための1-way QFAを構築し、その状態数がO(log p)であるのに対し、古典的オートマトンはp状態を要することを対比させた。
• 一般化モデルを導入：入力を複数回スキャンする1-way QFA、または2-way古典的オートマトンによる確率的事前処理を用いる1-way QFA。
• 入力記号に基づく量子状態の進化を、有限次元ヒルベルト空間上のユニタリ変換Vₐでモデル化した。
• 各ステップの後に量子測定を適用し、最終状態の振幅に基づいて受容／拒否を決定する。
• 有限状態集合上の重ね合わせを用い、受容を受容部分空間への射影によって定義した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1-way QFAの受容確率が、1-way可逆的オートマトンとの等価性に与える影響は何か？
• RQ2 1-way QFAは、特定の正則言語について、古典的有限オートマトンと比較して指数的状態削減を達成できるか？
• RQ3 複数回スキャンや事前処理を含む一般化1-way QFAモデル（例：{aⁿbⁿ}）は、非正則言語を認識できるか？
• RQ4 非正則言語を認識するための最小の量子部品サイズは何か？ ただし、量子系は定数サイズを維持するものとする。
• RQ5 ハイブリッド量子-古典的オートマトンモデルにおいて、量子状態サイズと古典的計算負荷の間にはトレードオフがあるか？

主な発見

• 素数pによる割り算の可視性を認識する1-way QFAは、たったO(log p)の状態数で十分であるのに対し、任意の古典的決定的または確率的オートマトンはp状態を要する。
• 受容確率が7/9を超える場合、任意の1-way QFAは1-way可逆的オートマトンでシミュレート可能であるが、低確率（例：約0.68）ではQFAは厳密に強力である。
• 複数回スキャンを行う1-way QFAは、有効な入力では常に停止せず、無効な入力では常に停止することで、非正則言語{aⁿbⁿ}を認識できる。
• 確率的事前処理を用いる1-way QFAは、高い確率（1−ε）で{aⁿbⁿ}を認識できる。2-way確率的オートマトンによる事前処理と、1-way QFAによる量子検証を組み合わせたものである。
• 事前処理モデルでは、量子系のサイズを増加させることなく非正則言語を認識可能であり、量子部品を定数サイズに保ったままである。
• pによる割り算のためのQFAの構築は、量子オートマトンが古典的オートマトンと比較して指数的に空間効率的である可能性を示している。