[論文レビュー] 1983 paper on entanglement entropy: "On the Entropy of the Vacuum outside a Horizon"

Rafael D. Sorkin|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2014

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 34

ひとこと要約

1983年の論文は、真空のエントロピーがホライズンを越えて自由スカラー場の量子もつれに起因することを提案している。格子正則化を用いて縮約密度行列のエントロピーを計算し、このもつれエントロピーがホライズン面積に比例することを示した。これは、プランク長さ付近のUVカットオフを伴い、面積に比例する量子的起源を持つブラックホールエントロピーを提供する。

ABSTRACT

I introduce the concept of *entanglement entropy* (as it's now called) and point out that it follows an *area law* which renders it a suitable source of black hole entropy. I also suggest to conceive the latter as residing on the horizon at approximately one bit per "Planckian plaquette".

研究の動機と目的

• ブラックホールエントロピーの物理的起源を調査すること。これは経験的にホライズン面積に比例しているが、明確な微視的説明が欠けている。
• 曲がった時空では、固定エネルギーの上限が内部量子状態の数を制限しないため、古典的統計力学ではエントロピーが無限大になるというパラドックスに対処すること。
• 外部領域（独立した量子系とみなされる）のエントロピーが、内部の自由度に依存せずに、内部との量子もつれに起因するかどうかを検討すること。
• 格子正則化スキームを用いて、ホライズンに類似する境界で分離された空間領域における自由スカラー場のもつれエントロピーを計算すること。
• このもつれエントロピーが面積則を再現するかどうかを検証し、曲がった時空上での量子場理論におけるブラックホールエントロピーの候補メカニズムを提示すること。

提案手法

• ホライズン外部の時空領域を、内部と外部に分けた空間超曲面としてモデル化し、格子間隔ℓにおける自由スカラー場を格子上に量子化する。
• 全超曲面上の真空状態|0⟩を定義し、内部自由度をトレースアウトすることで外部の縮約密度行列ρ^extを導出する。
• 外部エントロピーS^ext = -Tr(ρ^ext log ρ^ext)を計算し、外部と内部の場モード間のもつれを定量化する。
• エントロピーを核演算子Λの固有値λの和として表現し、S(λ) = -lg(1−μ) - [μ/(1−μ)]lg μ、ただしμ = 1 + 2λ⁻¹ - 2[λ⁻¹(1−λ⁻¹)]¹ᐟ²とする。
• 演算子Λ^a_b = -W^{aα}W_{αb}を導出する。ここでWは、運動エネルギー計量Gに関するポテンシャル行列Vの正の平方根である。
• 連続極限（ℓ→0）におけるUV発散を分析し、主要な発散がA/ℓ²に比例することを示す。ここでAは境界面の面積である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラックホールホライズン外部の真空のエントロピーは、ホライズンを越えて自由スカラー場の量子もつれに起因するものと説明できるか？
• RQ2 外部場モードのもつれエントロピーは、ベケンシュタイン＝ホーキングの公式が要請するように、ホライズンの面積に比例するか？
• RQ3 UVカットオフℓが発散するもつれエントロピーを正則化する役割を果たすが、これは自然にプランク長さに対応するか？
• RQ4 なぜもつれエントロピーが質量ゼロの場の数に依存するのか？ そして、バックライジョンなどの物理的効果によってこの依存性がどのようにキャンセルされるのか？
• RQ5 エントロピーが内部でも外部の場でもなければ、どこに物理的に存在するのか？ あるいは、ホライズンそのものに局在しているのだろうか？

主な発見

• 自由スカラー場が空間的境界（ホライズンを模倣）を越えてもつれる際、格子正則化においてエントロピーがA/ℓ²に比例することが示された。ここでAは境界の面積である。
• 連続極限において、スカラー場の質量mに依存しない主要項が得られる。これはyσ(y²) → 0（y→0）の収束による。
• 面積則における比例定数は、1次元積分によって決定され、σ(y²)は半直線上の質量yの場のエントロピーを表す。
• 物理的に妥当なエントロピー値（例：S ~ A/4ℓ_P²）を得るためには、UVカットオフℓがプランク長さ程度でなければならない。これは、このようなカットオフが物理的に必要不可欠であることを示唆する。
• この結果は、ホライズン外部の真空のエントロピーが量子もつれに起因することを裏付けるものであり、ブラックホールエントロピーの微視的起源を提供する。
• 論文は、もしもつれエントロピーがブラックホールエントロピーと同一視されるならば、関連する自由度はホライズンそのものに存在する可能性があり、状態数の推定値は~ exp(A/ℓ_P²) となると示唆している。