[論文レビュー] 1992 Trieste Lectures on Topological Gauge Theory and Yang-Mills Theory

G.E. Thompson|ArXiv.org|May 24, 1993

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、リーマン面上の2次元ヤン・ミルズ理論の経路積分形式を提示し、群の特徴標とキャミーゼル不変量を用いて、分配関数およびウィルソンループ相関関数の明示的表現を導出する。カップリング定数が0に近づくヤン・ミルズ理論の極限を用いて、位相的ゲージ理論の正則化を確立し、量子場理論的手法により位相的不変量の具体的な計算を可能にする。

ABSTRACT

In these lecture notes we explain a connection between Yang-Mills theory on arbitrary Riemann surfaces and two types of topological field theory, the so called $BF$ and cohomological theories. The quantum Yang-Mills theory is solved exactly using path integral techniques. Explicit expressions, in terms of group representation theory, are obtained for the partition function and various correlation functions. In a particular limit the Yang-Mills theory devolves to the topological models and the previously determined correlation functions give topological information about the moduli spaces of flat connections. In particular, the partition function yields the volume of the moduli space for which an explicit expression is derived. These notes are self contained, with a basic introduction to the various ideas underlying the topological field theories. This includes some relatively new work on handling problems that arise in the presence of reducible connections which in turn forms the bridge between the various models under consideration. These notes are identical to those made available to participants of the 1992 summer school in Trieste, except for one or two additions added circa January 1993.

研究の動機と目的

• 任意の genus のリーマン面上における2次元ヤン・ミルズ理論の経路積分的アプローチを構築し、位相的不変量を計算すること。
• カップリング定数 e² → 0 の極限においてヤン・ミルズ理論の極限をとることで、位相的ゲージ理論を正則化し、具体的な計算を可能にすること。
• 任意の genus の曲面上における、収縮可能および非収縮可能なウィルソンループの分配関数および相関関数の明示的表現を導出すること。
• ディスク上の量子ヤン・ミルズ理論と、ゲージ群 G 上のラプラシアンとの関係をシュレーディンガー方程式および特徴標を用いて明らかにすること。
• 補助スーパーフィールドを用いて、ホロノミー特徴標の経路積分表現を場の理論的に導出すること。

提案手法

• リーマン面上のヤン・ミルズ理論の経路積分形式を用い、ゲージ不変変数およびホロノミーのトレースを介して、分配関数およびウィルソンループ相関関数を計算する。
• 時間発展パラメータ t が逆カップリング定数 ε/2 に対応するディスク上のシュレーディンガー方程式に依存し、波動関数はゲージ群 G の特徴標の展開で表される。
• 群 G 上のラプラシアンは、2次のキャミーゼル不変量 c₂(λ) に一致し、固有関数は特徴標 χλ(g) であり、exp(−tc₂(λ)) の形で時間（またはカップリング）に伴い指数的減衰する。
• ホロノミー特徴標の経路積分は、補助フェルミ場 η, η̄ を用い、ρa(t)(η̄λaη)(t) に比例する項と、ε を含む正則化項を含む。
• 経路積分の解はシュレーディンガー方程式を満たし、Ψλ(ρ,ε) = χλ(Pexp∮ρ) exp(−ε/2 c₂(λ)) で与えられ、初期条件は ε=0 で与えられる。
• 非アーベルのストークスの定理を用いて、表面ホロノミーと曲率積分を関係づけ、経路順序指数を用いた共役によりゲージ不変な形に導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の genus のリーマン面上の2次元ヤン・ミルズ理論において、分配関数およびウィルソンループ相関関数をどのように明示的に計算できるか？
• RQ2 カップリング定数が0に近づく極限において、ヤン・ミルズ理論が位相的ゲージ理論をどのように正則化するか？
• RQ3 ディスク上のシュレーディンガー方程式の解が、ゲージ群 G の特徴標およびキャミーゼル不変量とどのように関係するか？
• RQ4 補助フェルミフィールドを用いたホロノミー特徴標の経路積分表現は何か？ そして、それが正しい時間発展をどのように得るか？
• RQ5 ゲージ変換の存在下で、ゲージ不変な非アーベルのストークスの定理は、表面ホロノミーを曲率積分とどのように関係付けるか？

主な発見

• 任意の genus のリーマン面上の分配関数およびウィルソンループ相関関数は、群の特徴標とキャミーゼル不変量を用いて導出されたが、全体の正規化定数は未定のままである。
• ホロノミー特徴標 Ψλ(ρ,ε) の経路積分は、Ψλ(ρ,ε) = χλ(Pexp∮ρ) exp(−ε/2 c₂(λ)) で与えられ、時間 t = ε/2 を用いてシュレーディンガー方程式を満たす。
• ディスク上の波動関数 Ψ(t,g) は、非可約表現の和として表され、Ψ(t,g) = ∑λ cλ χλ(g) exp(−t c₂(λ)) であり、t = ε/2 である。
• 群 G 上のラプラシアンは特徴標に対して ΔG χλ(g) = c₂(λ) χλ(g) を満たし、シュレーディンガー方程式は係数 aλ(t) に対して ∂t aλ + c₂(λ)aλ = 0 に簡略化される。
• ゲージ不変な非アーベルのストークスの定理が導出され、TrPexp(∮γ A) = TrPexp(∫Γ FA^U) が成り立つ。ここで FA^U はゲージ変換された接続の曲率である。
• 本手法により、特徴標の公式を場の理論的視点から導出でき、カップリング定数 e² → 0 の極限を通じて、量子ヤン・ミルズ理論と位相的不変量を結びつける。