[論文レビュー] 1998 Moursund Lectures at the University of Oregon

Jean-Pierre Serre|ArXiv.org|May 18, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、リー群の有限部分群および正の特性における完全還元性の一般化について、J.-P. セールが1998年に発表したモーリーサン講義の講義録である。有限群の埋め込み、特にPSL₂(p)およびPGL₂(p)の埋め込みを分類し、ねじれの素数における初等的アーベルp群の例外的埋め込みを同定し、表現論およびコホモロジー的手法を用いてG-cr（幾何的完全還元的）部分群の基準を確立した。主な結果として、正の特性における半単純性およびテンソル積の性質が得られた。

ABSTRACT

These informal notes are closely based on a series of eight lectures given by J.-P. Serre at the University of Oregon in October 1998. Professor Serre gave two talks per week for four weeks. The first talk each week was concerned with constructing embeddings of finite groups, especially $\PSL_2(p)$ and $\PGL_2(p)$, into Lie groups. The second talk each week was about generalizations of the notion of complete reducibility in group theory, especially in positive characteristic. The notes are divided into two parts, one for each of the topics of the lecture series. At the end of the notes, there is a short list of references as a guide to further reading.

研究の動機と目的

• 古典的および例外的リー群の有限部分群を、幾何学的および代数的手段を用いて分類すること。特にPSL₂(p)およびPGL₂(p)に注目する。
• ねじれの素数が、単純な代数群における初等的アーベルp群のトーラス埋め込みを妨げる役割を理解すること。
• 正の特性における完全還元性の概念を一般化すること。特に代数群およびその表現の文脈で考察する。
• 表現論的およびコホモロジー的道具を用いて、部分群がG-cr（幾何的完全還元的）であるための基準を確立すること。
• 有限群の作用が射影直線に与える影響、ガロア被覆、代数曲線の自己同型群の構造との関係を調査すること。

提案手法

• 単純なリー群のアーベル有限部分群を分析するため、最大トーラスとワイル群の使用。
• シェヴァリエの構成を用いてZ上に代数群を定義し、素数で割った剰余をとることで有限部分群を研究する。
• ミンコフスキーの定理（格子の有限自己同型群の位数における素数の指数の上限に関するもの）の応用。
• コホモロジーリングH*(G, Z)の分析によりねじれの素数を同定し、これらはルート系のデータおよび最高根の係数に関連する。
• 随伴表現および不変量n(V)を用いて、Γ-半単純性がG-crを意味する条件を同定する。
• テンソル積の半単純性に関するセールの定理および逆定理を応用し、表現論的手法によりG-cr部分群を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PGL₂(C)の有限部分群のうち、射影直線の分岐被覆のガロア群として現れるものはどれか。また、正多面体の対称性とどのように関係するか。
• RQ2 どの素数pについて、初等的アーベルp群Eが単純な代数群Gの任意の最大トーラスに含まれないか。Gおよびpに課される条件は何か。
• RQ3 コホモロジーリングH*(G, Z)はどのようにしてねじれの素数を検出するか。これらの素数はGのルート系とどのように関係するか。
• RQ4 体の特性pが何の条件下で、表現のΓ-半単純性がΓがG-crであることを意味するか。
• RQ5 随伴表現の半単純性と有限部分群ΓのG-cr性との間の正確な関係は何か。

主な発見

• SO₃(R)およびPGL₂(C)の有限部分群は、巡回群、二面体群、および3つの例外的ケース（A₄、S₄、A₅）に分類され、それぞれ正四面体、立方体、正二十面体の対称性に対応する。
• 単連結で単純な代数群Gのねじれの素数はルート系によって決定される。例えばE₈のねじれの素数は2、3、5である。
• 任意の最大トーラスに含まれない初等的アーベルp群（例外的埋め込み）は、ねじれの素数に限って存在し、その分類はグリースによる。
• 複素数体上の有限部分群Γ ⊂ G(C)について、ΓがG-crであるための必要十分条件は、随伴表現Lie(G)がΓ-半単純であることである。ただしp > 2h − 2を満たすものとし、hは双対コクセター数である。
• Γ-半単純性がG-crを意味する条件を緩和可能である。V = ⋀²Wの場合、pがdim W − 2を割らない限り、p > 2(dim W − 2)である必要はない。
• 正の特性の体上での表現のテンソル積の半単純性は、セールの完全還元性に関する定理の逆を示し、表現の次元および素数pを含む鋭い基準を与える。