[論文レビュー] 1d lattice models for the boundary of 2d "Majorana" fermion SPTs: Kramers-Wannier duality as an exact $Z_2$ symmetry

Richard A. Jones, Max A. Metlitski|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2019

Topological Materials and Phenomena被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、$Z_2 \times Z_2^f$ 対称性を持つ2次元フェルミオン的SPT相の境界を1次元格子模型で構築する。ヒルベルト空間には局所的テンソル積構造が存在せず、局所的制約がある。3サイトのハミルトニアンを導出し、正確な$Z_2$ クラマース＝ヴァーナー双対性対称性を実現する。正確な対角化とDMRGによる強力な数値的証拠により、模型がイジング conformal field theory（CFT）を実現しており、期待される無エナジー境界状態が確認される。

ABSTRACT

It is well known that symmetry protected topological (SPT) phases host non-trivial boundaries that cannot be mimicked in a lower-dimensional system with a conventional realization of symmetry. However, for SPT phases of bosons (fermions) within the cohomology (supercohomology) classification the boundary can be recreated without the bulk at the cost of a non-onsite symmetry action. This raises the question: can one also mimic the boundaries of SPT phases which lie outside the (super)cohomology classification? In this paper, we study this question in the context of 2+1D fermion SPTs. We focus on the root SPT phase for the symmetry group $G =Z_2 \ imes Z^f_2$. Starting with an exactly solvable model for the bulk of this phase constructed by Tarantino and Fidkowski, we derive an effective 1d lattice model for the boundary. Crucially, the Hilbert space of this 1d model does not have a local tensor product structure, but rather is obtained by placing a local constraint on a local tensor product Hilbert space. We derive the action of the $Z_2$ symmetry on this Hilbert space and find a simple 3-site Hamiltonian that respects this symmetry. We study this Hamiltonian numerically using exact diagonalization and DMRG and find strong evidence that it realizes an Ising CFT where the $Z_2$ symmetry acts as the Kramers-Wannier duality; this is the expected stable gapless boundary state of the present SPT. A simple modification of our construction realizes the boundary of the 2+1D topological superconductor protected by time-reversal symmetry ${\\cal T}$ with ${\\cal T}^2 = (-1)^{\\cal F}$.

研究の動機と目的

• 2次元フェルミオン的SPT相の境界を、超コホノロジー分類に含まれない場合、1次元格子模型として構築すること。特に$G = Z_2 \times Z_2^f$ の場合を対象とする。
• 対称性作用が非オンサイトであり、ヒルベルト空間が局所的テンソル積構造を持たない場合でも、バルクを必要とせず境界を実現できることを示すこと。
• 有効1次元模型において$Z_2$ 対称性が正確なクラマース＝ヴァーナー双対性として作用することを示すこと。
• 模型がイジングCFTを実現し、$Z_2$ 対称性が双対性として作用することを、数値的証拠により示し、SPT相の安定した無エナジー境界状態と整合することを確認すること。

提案手法

• タラントィノとフィドコフスキーの正確に解けるバルク模型を用いて、2+1次元フェルミオン的SPT相の境界に対する有効1次元格子模型を導出する。
• テンソル積空間上の局所的制約を用いてヒルベルト空間を構築し、標準的な局所的構造を破る。
• 制約付きヒルベルト空間上での$Z_2$ 対称性の作用を定義し、この対称性に関して不変な3サイトハミルトニアンを導出する。
• 正確な対角化とDMRGシミュレーションを実施し、低エネルギー準位構造と conformal field theory の性質を調査する。
• クラマース＝ヴァーナー双対性の観点から対称性作用を分析し、エッジモードを連続極限においてメイジョラナフェルミオンに写像する。
• 時間反転対称性$\mathcal{T}^2 = (-1)^F$ を持つ2次元トポロジカル超伝導体への構成の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超コホノロジー分類に含まれない2次元フェルミオン的SPT相の境界を、バルクを必要とせず1次元で実現できるか？
• RQ2 このような境界のヒルベルト空間の構造は何か？ 通常のテンソル積ヒルベルト空間とはどのように異なるか？
• RQ3 1次元格子模型が正確なクラマース＝ヴァーナー双対性を対称性として実現できるか？ また、無エナジーイジングCFTを支持するか？
• RQ4 非オンサイトな$Z_2$ 対称性作用が有効1次元模型にどのように現れ、臨界相を安定化させる役割を果たすか？

主な発見

• ヒルベルト空間に局所的制約がある1次元有効模型が構築され、標準的なテンソル積構造が破れている。これは、異常な境界を捉えるために不可欠である。
• $Z_2$ 対称性が1次元模型上で正確なクラマース＝ヴァーナー双対性として作用し、3サイトハミルトニアンがこの双対性対称性を保存する。
• 正確な対角化とDMRGによる数値的シミュレーションにより、イジングCFTと整合する低エネルギー準位構造が得られ、無エナジー臨界的挙動が確認される。
• 質量項（$Z_2$ に関して奇数）が禁止される臨界点が実現され、自己双対的なイジング点が安定化される。
• この構成は、$G = G_b \times Z_2^f$ を持つ他の2次元フェルミオン的SPTsや、時間反転対称性$\mathcal{T}^2 = (-1)^F$ を持つ$p+ip$ 超伝導体へも一般化可能である。