[論文レビュー] 1D quintic nonlinear Schrödinger equation with white noise dispersion

Arnaud Debussche, Yoshio Tsutsumi|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2010

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 6被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、白色雑音分散を伴う1次元5次非線形シュレーディンガー方程式のグローバル適定性を、線形確率的伝搬作用素に対するストリカルツ推定の改良によって確立する。著者らは、白色雑音分散が臨界非線形性でさえも有限時間 blow-up を防ぐ強力な安定化機構として機能することを証明し、確率的方程式が滑らかな確率的分散を持つ方程式の極限として生じることを示す。

ABSTRACT

In this article, we improve the Strichartz estimates obtained in [12] for the Schrödinger equation with white noise dispersion in one dimension. This allows us to prove global well posedness when a quintic critical nonlinearity is added to the equation. We finally show that the white noise dispersion is the limit of smooth random dispersion.

研究の動機と目的

• 1次元5次非線形シュレーディンガー方程式の白色雑音分散を伴う $L^2(\mathbb{R})$ および $H^1(\mathbb{R})$ におけるグローバル適定性を確立すること。
• 分散係数の退化と $TT^*$ 論法の失敗に起因する困難を克服し、白色雑音分散を伴う線形シュレーディンガー方程式に対するストリカルツ型推定を改良すること。
• 白色雑音分散が臨界非線形性の下でも有限時間 blow-up を防ぐ安定化機構として機能することを示すこと。
• 滑らかな確率的分散を持つ方程式の解が、分布収束の意味で白色雑音分散方程式の解に収束することを厳密に正当化すること。

提案手法

• シュレーディンガー方程式の白色雑音分散 $\beta(t)$ に付随する確率的線形伝搬作用素 $S(t,s)$ に対して、$TT^*$ 論法を避ける新しい手法を用いて、改良されたストリカルツ推定を導出する。
• 随伴方程式に基づく双対性論法と、基本解の明示的表現 $u(t) = \frac{1}{(4i\pi(\beta(t)-\beta(s)))^{1/2}} \int_{\mathbb{R}} \exp\left(i\frac{|x-y|^2}{4(\beta(t)-\beta(s))}\right) u_s(y) dy$ を用いる。
• 5次非線形項を制御するため、滑らかなカットオフ $\theta(|u|^2/M)$ を用いた切断法を適用し、$H^1(\mathbb{R})$ における一様有界性を確立する。
• スコロホド表現定理を用いて、分布収束から切断された解のほとんど確実収束への移行を行う。
• Sobolev埋没による $L^\infty$ ノルムの制御と一様推定を用いて、$C([0,T];H^1(\mathbb{R}))$ 内での解過程のtightnessと収束を確立する。
• 滑らかな分散近似の爆発時刻 $\tau_\varepsilon$ が、$\varepsilon \to 0$ のとき任意の固定 $T$ よりも大きくなる almost surely であることを証明し、極限におけるグローバル存在性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分散係数の退化と $TT^*$ 論法の失敗に起因する困難を克服できるか、白色雑音分散を伴うシュレーディンガー方程式に対してストリカルツ推定を改良できるか？
• RQ2 1次元シュレーディンガー方程式に5次非線形項を加えた場合、白色雑音分散のもとで $H^1(\mathbb{R})$ においてグローバル適定性が成立するか？
• RQ3 白色雑音分散を伴う確率的NLSの解は、滑らかな確率的分散を持つ方程式の解の極限として得られるか？
• RQ4 白色雑音分散は5次NLSを安定化させ、決定論的臨界ケースで発生する有限時間 blow-up を防ぐのか？

主な発見

• 著者らは、分散係数の退化と双対性論法の失敗に起因する困難を克服し、白色雑音分散を伴うシュレーディンガー方程式の線形伝搬作用素に対する改良されたストリカルツ推定を確立した。
• 1次元5次非線形シュレーディンガー方程式の白色雑音分散を伴う $H^1(\mathbb{R})$ および $L^2(\mathbb{R})$ におけるグローバル適定性が証明された。
• 解はほとんど確実に有限時間内に blow-up しない、すなわち時間全域にわたって存在することが確認され、白色雑音分散が臨界非線形性下でも有限時間 blow-up を防ぐ安定化機構として機能することが示された。
• 白色雑音分散を伴う解は、分散がスケーリング極限で白色雑音に近づく滑らかな確率的分散を持つ方程式の解の分布極限として生じる。
• 解過程 $u_\varepsilon$ が $C([0,T];H^1(\mathbb{R}))$ 内で確率的に極限 $u$ に収束し、$\mathbb{P}(\tau_\varepsilon \leq T) \to 0$ が $\varepsilon \to 0$ のとき成り立つ。
• 本結果は、白色雑音分散の安定化効果を確認するものである：5次1次元ケースにおいて、決定論的方程式が大規模な初期データに対して blow-up を示すにもかかわらず、確率的分散が特異点形成を抑制することが示された。