[論文レビュー] 1D Schrödinger operator with periodic plus compactly supported potentials

Evgeny Korotyaev|ArXiv.org|Apr 18, 2009

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、周期的ポテンシャルにコンパクトに台を持つ摂動を加えた1次元シュレーディンガー作用素のスペクトル的性質を研究する。固有値および共振状態の漸近的分布を確立し、総ポテンシャル積分がゼロの場合、大きなギャップでは非退縮ギャップごとに固有状態が2つで反束縛状態が0個、または反束縛状態が2つで固有状態が0個であることを証明する。さらに、任意の事前に指定された束縛状態と反束縛状態の列をギャップに実現するポテンシャルを構成する。

ABSTRACT

We consider the 1D Schrödinger operator $Hy=-y''+(p+q)y$ with a periodic potential $p$ plus compactly supported potential $q$ on the real line. The spectrum of $H$ consists of an absolutely continuous part plus a finite number of simple eigenvalues in each spectral gap $\g_n e \es, n\geq 0$, where $\g_0$ is unbounded gap. We prove the following results: 1) we determine the distribution of resonances in the disk with large radius, 2) a forbidden domain for the resonances is specified, 3) the asymptotics of eigenvalues and antibound states are determined, 4) if $q_0=\int_\R qdx=0$, then roughly speaking in each nondegenerate gap $\g_n$ for $n$ large enough there are two eigenvalues and zero antibound state or zero eigenvalues and two antibound states, 5) if $H$ has infinitely many gaps in the continuous spectrum, then for any sequence $\s=(\s)_1^\iy, \s_n\in \{0,2\}$, there exists a compactly supported potential $q$ such that $H$ has $\s_n$ bound states and $2-\s_n$ antibound states in each gap $\g_n$ for $n$ large enough. 6) For any $q$ (with $q_0=0$), $\s=(\s_n)_{1}^\iy$, where $\s_n\in \{0,2\}$ and for any sequence $\d=(\d_n)_1^\iy\in \ell^2, \d_n>0$ there exists a potential $p\in L^2(0,1)$ such that each gap length $|\g_n|=\d_n, n\ge 1$ and $H$ has exactly $\s_n$ eigenvalues and $2-\s_n$ antibound states in each gap $\g_n e \es$ for $n$ large enough.

研究の動機と目的

• シュレーディンガー作用素 $ H = -y'' + (p + q)y $ のスペクトル構造を解析すること、ここで $ p $ は1周期的で、$ q $ はコンパクトに台を持つ。
• 作用素 $ H $ のスペクトルギャップにおける共振状態および固有値の分布を特定すること、特に高エネルギー領域における性質を調べること。
• 総ポテンシャル積分 $ q_0 = 0 $ のもとで、任意に事前に指定された束縛状態と反束縛状態の列をギャップに実現するようなポテンシャル $ q $ の存在を確立すること。
• ギャップ長 $ \delta_n \in \ell^2 $ を事前に指定した周期的ポテンシャル $ p \in L^2(0,1) $ を構成し、摂動作用素 $ H $ が各ギャップで与えられた状態数列を実現すること。

提案手法

• スペクトル解析のための2枚のリーマン面 $ \Lambda $ を定義するために、リャプノフ関数 $ \Delta(z) = \frac{1}{2}(\varphi'(1,z) + \vartheta(1,z)) $ と関数 $ \Omega(\lambda) = (1 - \Delta^2(\sqrt{\lambda}))^{1/2} $ を用いる。
• 極が $ H $ の固有値に対応するメロモルフィック関数 $ D(\lambda) = \det(I + q(H_0 - \lambda)^{-1}) $ を分析し、漸近的制御を改善するために修正関数 $ \Xi = 2i\Omega D $ を導入する。
• リーマン・レヴィンソンの定理および零点の漸近的数え上げを用いた複素解析的手法により、大きな円板内における共振状態および固有値の数を導出する。
• 散乱行列および $ S $-行列の透過係数 $ 1/D $ を用いて、スペクトルデータとポテンシャル摂動 $ q $ を関連付ける。
• ヒルベルト空間上のポテンシャルと $ \ell^2 \oplus \ell^2 $ 間の実解析的同相写像を用いて、ギャップ長および位相パラメータを制御する。
• 位相パラメータ $ \tau_n $ を構成し、$ R_n = -|\widehat{q}_n|\cos(\phi_n + \tau_n) $ の漸近展開を用いて、各ギャップにおける束縛状態および反束縛状態の数を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的ポテンシャルに加えてコンパクトに台を持つポテンシャルを持つシュレーディンガー作用素について、複素平面上の大きな円板 $ |\lambda| \leq r $ 内の共振状態の分布はどのようになるか？
• RQ2 スペクトルギャップ内における共振状態の禁じられた領域は何か？ これは固有状態および共振状態の位置をどのように制約するか？
• RQ3 固有状態および反束縛状態の漸近的挙動は、特に $ \int_{\mathbb{R}} q(x)dx = 0 $ のときどのように振る舞うか？
• RQ4 各ギャップにおける束縛状態と反束縛状態の列 $ \sigma_n \in \{0,2\} $ を任意に指定した場合、適切なコンパクトに台を持つポテンシャル $ q $ を選ぶことでその列を実現できるか？
• RQ5 与えられた列 $ \delta_n \in \ell^2 $ に対して、周期的ポテンシャル $ p \in L^2(0,1) $ を構成し、$ H_0 $ のギャップ長が $ |\gamma_n| = \delta_n $ かつ $ H $ が各ギャップで与えられた状態数列 $ \sigma_n $ を実現できるか？

主な発見

• 大きな $ r $ に対して、2つの扇形領域 $ |\arg z|, |\arg z - \pi| < \delta $ の外側にある円板 $ |\lambda| \leq r $ 内の共振状態の数は $ o(r) $ である。これは、共振状態の分布が制限されていることを示している。
• $ q_0 = 0 $ のとき、十分に大きな $ n $ に対して、非退縮スペクトルギャップ $ \gamma_n $ には、2つの固有状態と0つの反束縛状態、または0つの固有状態と2つの反束縛状態が含まれる。
• $ H_0 $ が無限個のギャップを持つ場合、任意の列 $ \sigma = (\sigma_n)_{n=1}^\infty $ で $ \sigma_n \in \{0,2\} $ を満たすものに対して、コンパクトに台を持つポテンシャル $ q $ が存在し、$ n $ が十分に大きいとき各ギャップ $ \gamma_n \neq \emptyset $ に正確に $ \sigma_n $ 個の束縛状態と $ 2 - \sigma_n $ 個の反束縛状態が存在する。
• 任意の $ q $ に対して $ q_0 = 0 $、任意の列 $ \sigma_n \in \{0,2\} $、任意の列 $ \delta = (\delta_n)_{n=1}^\infty \in \ell^2 $ で $ \delta_n > 0 $ を満たすものに対して、周期的ポテンシャル $ p \in L^2(0,1) $ が存在し、$ |\gamma_n| = \delta_n $ かつ $ n $ が十分に大きいとき各ギャップ $ \gamma_n \neq \emptyset $ に正確に $ \sigma_n $ 個の固有状態と $ 2 - \sigma_n $ 個の反束縛状態が存在する。
• ギャップ $ \gamma_n $ 内の固有状態 $ \lambda_n^\pm $ の漸近的位置は、$ \sqrt{\lambda_n^\pm} = \sqrt{E_n^\pm} \mp \frac{2|\gamma_n|}{(4\pi n)^3}(R_n + O(1/n))^2 $ で与えられる。ここで $ R_n = -|\widehat{q}_n|\cos(\phi_n + \tau_n) $ である。
• 散乱関数の虚部は、$ (-1)^{n+1}J(\lambda_n^\pm) = \frac{|\gamma_n|}{(2\pi n)^2}(R_n + O(1/n)) $ を満たし、スペクトルデータと $ q $ のフーリエ係数を結びつける。