[論文レビュー] 1D Schr\"odinger operators with complex potentials

Korotyaev, Evgeny|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2019

Advanced Harmonic Analysis Research被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、実直線上の複素ポテンシャルをもつ1次元シュレーディンガー作用素に対して、従来の実ポテンシャルの場合に存在しない新しい特異測度成分を含むトレース公式を確立する。ハーディー空間理論とジョスト関数の正規因子分解を用いて、トレース公式を導出し、固有値の虚部の和と特異測度のL¹ノルムに関する鋭い推定値を得る。

ABSTRACT

We consider a Schr\"odinger operator with complex-valued potentials on the line. The operator has essential spectrum on the half-line plus eigenvalues (counted with algebraic multiplicity) in the complex plane without the positive half-line. We determine series of trace formulas. Here we have the new term: a singular measure, which is absent for real potentials. Moreover, we estimate of sum of Im part of eigenvalues plus singular measure in terms of the norm of potentials. The proof is based on classical results about the Hardy spaces.

研究の動機と目的

• 実直線上の複素ポテンシャルをもつシュレーディンガー作用素への古典的トレース公式の拡張を図ること。
• 実ポテンシャルの場合に存在しない、トレース公式に新たに現れる特異測度成分を特定・統合すること。
• 固有値の虚部の和と特異測度の合計を、ポテンシャルのL¹ノルムで推定すること。
• ハーディー空間理論とジョスト関数の正規因子分解を用いて、トレース公式と推定値を導出すること。

提案手法

• シュレーディンガー方程式 −f'' + qf = k²f に対して、出射波条件を満たすジョスト解 f±(x,k) を定義する。
• ロンスキー行列式 w(k) と、上半平面 C+ 内で定義される関数 ψ(k) = w(k)/(2ik)、Ψ(k) = w(k)/(2i(k+i)) を導入する。
• 正規因子分解 ψ = ψinψout を用い、ψin を固有値に関するブラシケ積と特異内因子を含むものとする。
• ハーディー空間理論（Hp空間）を用いて、ψ と Ψ の解析的性質、特に無限遠点における振る舞いを分析する。
• |k| > rc におけるテイラー級数展開を用いて、ブラシケ積の対数を展開し、ポテンシャルのモーメントと関連付ける。
• 恒等式 w(k) = 2f+(0,k)f'+(0,k) を用いて、全作用素のロンスキー行列式を、ノイマン（Hn）およびディリクレ（Hd）境界条件をもつ半直線問題のロンスキー行列式と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素ポテンシャルをもつシュレーディンガー作用素のトレース公式は、実ポテンシャルの場合とどのように異なり、スペクトル成分においてどのような違いを示すか？
• RQ2 複素ポテンシャルのトレース公式における特異測度の役割は何か？また、ポテンシャルの減衰性質とどのように関係しているか？
• RQ3 固有値の虚部の和と特異測度の合計を、ポテンシャルのL¹ノルムで有界化できるか？
• RQ4 ハーディー空間 H∞(C+) 内でのジョスト関数 ψ(k) の正規因子分解が、トレース公式と推定値の導出にどのように寄与するか？

主な発見

• トレース公式には、実ポテンシャルの場合に存在しない新しい特異測度項が含まれており、これは複素ポテンシャルの場合に不可欠である。
• 固有値の虚部の和と特異測度の全 variation の合計は、ポテンシャルのL¹ノルムに比例する定数で有界である：B0 + ν(R)/π ≤ C(1 + ||q||₁) + r₊(Co + log r₊)，ここで r₊ = ||q|| である。
• 固有値と関連するブラシケ積 B(k) は ||B||H∞ ≤ 1 を満たし、|k| > rc = ||q||/2 において収束するテイラー級数展開を持つ。
• compactly supported なポテンシャルに対して、ノイマンおよびディリクレ半直線作用素の固有値の数は、中心が i4||q+|| で半径 ρ ≥ √8||q+|| の円板内に、1 + (4/log 2)(γρ/π + 2||q+||/ρ) 個以下に有界である。
• ノイマン問題のジョスト関数 ψn(k) の内因子は、Bn(k) e^{-iKn(k)} と表され、K_n(k) は実直線上に台を持つ特異測度 dνn に関するステルティウス型積分である。
• ノイマン問題のトレース公式は Bn,0 + νn(R)/π + (1/2)∫₀^∞ Re q₊(x)dx = (1/π) v.p.∫ℝ log|ψn(t)|dt であり、右辺は絶対収束する。