[論文レビュー] (2+1)D Noncommutative CP$^{N-1}$ Model

E. A. Asano, M. Gomes+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、(2+1)次元非可換 CP^{N-1} モデルを検討し、基本場がゲージ群の左基本表現に変換する場合、1/N 展開の次-leading 時に至るまで、モデルが再正則化可能であり、危険な赤外発散を伴わないことを示している。一方、共役表現では、ゲージ場の2点関数および自己エネルギー補正において2次赤外発散が生じ、1/N 展開の高次の項での有効性が脅かされる。

ABSTRACT

We investigate possible extensions of the (2+1) dimensional $CP^{N-1}$ model to the noncommutative space. Up to the leading nontrivial order of 1/N, we prove that the model restricted to the left fundamental representation of the gauge group is renormalizable and does not have dangerous infrared divergences. In contrast, if the basic field $ϕ$ transforms in accord with the adjoint representation, infrared singularities are present in the two point function of the auxiliary gauge field and also in the leading correction to the self-energy of the $ϕ$ field. These infrared divergences may produce nonintegrable singularities leading at higher orders to a breakdown of the 1/N expansion. Gauge invariance of the renormalization procedure is also discussed.

研究の動機と目的

• ゲージ群の異なる表現における(2+1)次元非可換 CP^{N-1} モデルの再正則可能性および赤外挙動を調査すること。
• 非可換場理論において、特に IR/UV 混在の下で、1/N 展開が有効に保たれるかどうかを特定すること。
• 非可換位相および平面図対非平面図の役割が、UV および IR 発散に与える影響を分析すること。
• 非可換設定におけるゲージ不変性が、再正則化手順に与える影響を検討すること。
• 特に発散構造の比較を通じて、基本（左）表現と共役表現との間のモデル挙動を検討すること。

提案手法

• 1/N 展開を次-leading 時まで用い、非可換 CP^{N-1} モデルにおける量子補正の伝播関数および頂点を分析する。
• 次元正則化を用い、紫外発散を評価し、BPHZ 削去スキームによる発散のキャンセルを確認する。
• フェ Feynman 図の明示的計算を含み、非可換位相因子に基づいて平面図と非平面図を区別する。
• グラフィカル恒等式および運動量空間におけるテイラー展開を用い、重複する部分図における発散のキャンセルを示す。
• 非可換位相因子 exp[i(p₁∧p₂ − p₁∧p₃ + p₂∧p₃)] を、発散の赤外挙動を分析する際に図の和算において要因分解する。
• ゲージ群の基本（左）表現および共役表現の両方を検討し、発散構造を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スカラー場がゲージ群の左基本表現に変換する場合、非可換 (2+1)D CP^{N-1} モデルは再正則化可能か？
• RQ2 場が共役表現に変換する場合、補助ゲージ場の2点関数およびスカラー場自己エネルギーに危険な赤外発散が現れるか？
• RQ3 非可換場理論において、BPHZ スキームを用いて1/N 展開における紫外発散を体系的にキャンセルできるか？
• RQ4 異なる非可換位相を持つ非平面図が、モデルの再正則化および赤外挙動に与える影響は何か？
• RQ5 非可換理論における電荷共役対称性の欠如が、可換の場合に存在しない新たな発散寄与を引き起こす程度はどの程度か？

主な発見

• スカラー場が左基本表現に変換する非可換 CP^{N-1} モデルは、1/N 展開の次-leading 時まで再正則化可能であり、危険な赤外発散を伴わない。
• 基本表現では、伝播関数の補正項に新たな UV 発散が生じず、対称性およびローレンツ不変性により線形発散がペアでキャンセルされる。
• 質量補正項の挿入は、BPHZ 削去スキームにおけるキャンセルを強制するグラフィカル恒等式によりペアでキャンセルされる。
• 3ループ図 G において、すべての未削除振幅の和は、重複する発散部分図に対しても、すべての削除項が正確にキャンセルされるため、有限である。
• 電荷の流れが逆である非平面図は個別に線形赤外発散を示すが、位相因子の要因分解および1次テイラー展開により、和算時にキャンセルされる。
• 共役表現では、ゲージ場の2点関数およびスカラー自己エネルギーに2次赤外発散が現れ、高次の1/N 展開の有効性が脅かされる。