[論文レビュー] 2+1 dimensional solution of Einstein Cartan equations

M. Hortaçsu, H. T. Özçelik+1 more|ArXiv.org|Jul 28, 2008

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、古典的スピン-1/2場を時空ねじれの動的でない源として扱うことにより、2+1次元のアインシュタイン＝カルタン方程式の正確な静的解を提示する。解は非ゼロの宇宙定数を有する計量を特徴とし、ねじれがスピンォ場に結合しており、曲がったねじれのある背景でディラック方程式を一貫して解き、径方向座標に関して特定の対数的依存性を示すことで、アインシュタイン＝カルタン方程式およびディラック方程式の完全な解が得られる。

ABSTRACT

In this work a static solution of Einstein-Cartan (EC) equations in 2+1 dimensional space-time is given by considering classical spin-1/2 field as external source for torsion of the space-time. Here, the torsion tensor is obtained from metricity condition for the connection and the static spinor field is determined as the solution of Dirac equation in 2+1 spacetime with non-zero cosmological constant and torsion. The torsion itself is considered as a non-dynamical field.

研究の動機と目的

• 2+1次元における非ゼロの宇宙定数を有するアインシュタイン＝カルタン方程式の正確な解の構築。
• 古典的で静的かつ径方向のスピン-1/2場が時空ねじれの源として果たす役割の調査。
• 曲がったねじれのある時空背景においてディラック方程式を一貫して解くこと。
• ねじれテンソルがスピンォ場を特定のタイプ（例えばディラック型対比マヨラナ型）に制限するか否かを特定すること。
• アインシュタイン＝カルタン方程式およびディラック方程式の完全な系が同時に満たされているかの検証。

提案手法

• 時空は静的かつ球対称と仮定し、非ゼロの宇宙定数を含む2+1次元の計量アンサンブルを用いる。
• ねじれはスピンォ場の軸性電流から導かれるコンタクションテンソルを介して導入され、ねじれを非動的とみなす。
• スピン接続および計量の存在下で、径方向および角度的依存性を有する特定のスピンォアンサンブルを用いてディラック方程式を解く。
• スピンォ場からのエネルギー運動量テンソルをアインシュタイン方程式の源として用い、ねじれの源項はスピンォのスピン密度から得る。
• 計量関数およびスピンォ成分を一致させることで、アインシュタイン＝カルタン方程式およびディラック方程式を同時に満たすように全系を解く。
• 解は、宇宙定数が $ c > \tilde{c} $ を満たす必要がある制約下で導出される。さらに、実数の対数的解を得るためには $ 4m(c - m) > c^2 - \Lambda $ が成り立つ必要がある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的スピン-1/2場をねじれ源として用いることにより、非ゼロのねじれを有する静的2+1次元時空を構築可能か？
• RQ2 ねじれの存在が曲がった時空背景におけるディラック方程式の解法に与える影響は何か？
• RQ3 この設定において、ねじれテンソルがスピンォ場をマヨラナ型ではなくディラック型に強制するか？
• RQ4 アインシュタイン＝カルタン方程式およびディラック方程式を一貫して解いた際の計量およびスピンォ場の明示的形は何か？
• RQ5 宇宙定数は解の存在および構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 解は $ ds^2 = -r^2 dt^2 + \frac{1}{(c^2 - \Lambda)r^2} dr^2 + r^2 d\phi^2 $ の形の計量を示し、非ゼロのスカラー曲率 $ \tilde{R} = 6\Lambda $ を有する。
• 非ゼロの曲率成分は $ \tilde{R}_{tt} = -2r^2\Lambda $、$ \tilde{R}_{rr} = \frac{2\Lambda}{r^2(c^2 - \Lambda)} $、および $ \tilde{R}_{\phi\phi} = 2r^2\Lambda $ であり、非自明な幾何学的構造を確認する。
• スピンォ場成分 $ \psi_1, \psi_2, \bar{\psi}_2 $ は $ r $ の対数関数として表され、質量 $ m $、宇宙定数 $ \Lambda $、パラメータ $ c $ に依存する係数を有する。
• 実数の対数的引数を保証するため、制約 $ 4m(c - m) > c^2 - \Lambda $ が必要である。
• ねじれのある時空におけるラプラシアンは、この解においてコンタクションテンソルが消えるため、リーマン形式に還元される。
• スピンォ場は一意にディラック型に決定される。マヨラナ型の場は、結合系方程式を満たさない。