[論文レビュー] (2+2)-free posets, ascent sequences and pattern avoiding permutations

Mireille Bousquet‐Mélou, Anders Claesson+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用数 44

ひとこと要約

本稿は、(2+2)-自由なposet、上昇列、特定のパターン回避順列、およびStoimenowの固定点なし自己同型（コード・ダイアグラム）の間で全単射を確立し、それらの同数性を明らかにしている。主な貢献は、これらの対象を上昇列によって符号化する直接的かつ統計を保存する全単射であり、非D-有限な母関数を導出し、修正された列写像の固定点を用いてPudwellの予想を証明している。

ABSTRACT

We present bijections between four classes of combinatorial objects. Two of them, the class of unlabeled (2+2)-free posets and a certain class of involutions (or chord diagrams), already appeared in the literature, but were apparently not known to be equinumerous. We present a direct bijection between them. The third class is a family of permutations defined in terms of a new type of pattern. An attractive property of these patterns is that, like classical patterns, they are closed under the action of $D_8$, the symmetry group of the square. The fourth class is formed by certain integer sequences, called ascent sequences, which have a simple recursive structure and are shown to encode (2+2)-free posets and permutations. Our bijections preserve numerous statistics. We determine the generating function of these classes of objects, thus recovering a non-D-finite series obtained by Zagier for the class of chord diagrams. Finally, we characterize the ascent sequences that correspond to permutations avoiding the barred pattern $3{\bar 1}52{\bar 4}$ and use this to enumerate those permutations, thereby settling a conjecture of Pudwell.

研究の動機と目的

• 以前に同数性が知られていたが明示的な関連性がなかった、(2+2)-自由なposet、上昇列、パターン回避順列、Stoimenowの自己同型（コード・ダイアグラム）の間で、直接的かつ統計を保存する全単射を確立すること。
• 正方形の対称性（ディエドラル群）の作用に関して閉じた一般化されたバインド・パターンを用いた、新しいタイプのパターン回避順列を定義し、特徴づけ、古典的パターン回避理論を拡張すること。
• 修正された上昇列写像の固定点が、バー付きパターン3̄152̄4を回避する順列にちょうど一致することを証明し、Pudwellの予想を解決すること。
• これらの組合せ的クラスの母関数を導出し、Zagierのコード・ダイアグラム用シリーズと一致することを示し、(2+2)-自由なposetと自己同型の間の直接的全単射を提供すること。

提案手法

• 上昇列を中核的な符号化ツールとして導入：各項がそれまでに現れた異なる値の個数より1つ以上大きくならない非負整数列。
• 正方形の対称性（ディエドラル群作用）に関して閉じた一般化されたバインド・パターンを用いた、新しいタイプのパターン回避順列を定義し、古典的パターン回避を拡張する。
• 上昇列と新しいパターン回避順列クラスの間で、降下数やピーク数といった複数の統計を保存する再帰的全単射Λを構築する。
• 上昇列を介した(2+2)-自由なposetの再帰的構成Ψを開発し、このようなposetが上昇列と全単射であり、それらの統計を引き継ぐことを示す。
• posetおよび順列構造の抽出を簡略化するための修正上昇列写像x̂を導入し、3̄152̄4-回避順列に対応する固定点を特徴づける。
• レベルごとの順序で開閉コードを一致させることで、(2+2)-自由なposetとStoimenowの自己同型（コード・ダイアグラム）の間の直接的全単射Ωを構築し、最小・最大要素の個数といった統計を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4つの組合せ的クラス—(2+2)-自由なposet、上昇列、パターン回避順列、Stoimenowの自己同型—は、直接的かつ統計を保存する全単射によって自然に同数であるか？
• RQ2 新しいパターン回避順列クラスは、単純な再帰的構成または符号化によって特徴づけられるか？ また、対称性の閉包を備えた古典的パターン回避理論を拡張するか？
• RQ3 修正された上昇列写像x̂の固定点とバー付きパターン3̄152̄4の間の正確な関係は何か？ そして、これが閉形式の列挙を導くか？
• RQ4 (2+2)-自由なposetとStoimenowの自己同型の間には、母関数を用いない直接的な組合せ的全単射が存在するか？

主な発見

• 本稿は、修正された上昇列写像x̂の固定点が、バー付きパターン3̄152̄4を回避する順列にちょうど一対一に対応することを証明し、Pudwellの予想を確認した。
• (2+2)-自由なposet、上昇列、および新しい順列クラスの母関数は非D-有限であり、Stoimenowの自己同型のZagierのシリーズと一致し、このシリーズの新たな組合せ的解釈を提供した。
• 直接的全単射Ωが(2+2)-自由なposetとStoimenowの自己同型の間で構築され、最小・最大要素の個数や要素のレベル構造といった重要な統計を保存した。
• 上昇列を介した(2+2)-自由なposetの再帰的構成（Ψ経由）および順列の構成（Λ経由）の両方とも、降下数、ピーク数、成分数といった複数の統計を保存した。
• 本研究は、新しいパターン回避順列が正方形の対称性群（ディエドラル群）の全作用に関して閉じていることを示したが、これは古典的または標準的なバインド・パターンには見られない性質である。
• 研究は、新規クラスの順列のドット図が、積順序の下で常に(2+2)-自由なposetを導くわけではないことを明らかにした。これは、poset構造が図に直接は見えないことを示している。