[論文レビュー] 2-dimensional algebras. Application to Jordan, G-associative and Hom-associative algebras

Elisabeth Remm, Michel Goze|arXiv (Cornell University)|May 6, 2012

Advanced Topics in Algebra参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Fano平面と対称群Σ₃の作用を用いて、特徴量2における分類を含め、体𝕂上での2次元代数を同型を除いて分類する。この分類を応用して、Jordan代数、G-結合的代数、およびHom-結合的代数に関する新しい結果を導出し、行列式条件と𝕂⁶内のパラメータ族を通じて、明示的なHom-結合的代数の族を特定する。

ABSTRACT

We classify, up to isomorphism, the 2-dimensional algebras over a field K. We focuse also on the case of characteristic 2, identifying the matrices of GL(2,F_2) with the elements of the symmetric group S_3. The classification is then given by the study of the orbits of this group on a 3-dimensional plane, viewed as a Fano plane. As applications, we establish classifications of Jordan algebras, algebras of Lie type or Hom-Associative algebras.

研究の動機と目的

• 体𝕂上での2次元代数を同型を除いて分類すること、特に特徴量2における分類を目的とする。
• 包括的な同型リストではなく、高次元の非結合的代数の分類に有用な最小不変族を特定することにより、利用可能性を向上させること。
• 分類を特定のクラス（Jordan代数、G-結合的代数、Hom-結合的代数）に応用すること。
• 2次元代数がHom-結合的恒等式を満たすための条件を、線形系と行列式基準を用いて特定すること。

提案手法

• 特徴量≠2の場合、乗法テンソルμを対称的および反対称的部分に分解する。
• GL(2,𝔽₂) ≅ Σ₃の作用を3次元平面に適用し、Fano平面の軌道を用いて特徴量2における代数を分類する。
• 同型不変性を応用し、群作用の下での軌道解析に分類を還元する。
• 恒等式(xy)f(z) = f(x)(yz)を用いてHom-結合的条件を導出し、自己準同型fの線形系を構成する。
• 4×4行列HA_Aの行列式H(A)を計算し、可換代数がHom-結合的であるための条件を決定する。
• 代数幾何を用いて、2次元可換Hom-結合的代数の集合を𝕂⁶内の超曲面として記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体𝕂上での2次元代数の同型関係は何か？また、群作用とテンソル分解を用いてどのように分類できるか？
• RQ2 2次元代数の分類は、高次元の非結合的代数に有用な最小不変族を特定するために、どのように適合可能か？
• RQ3 2次元代数がHom-結合的であるための必要十分条件は何か？そして、これらは代数的にどのように表現できるか？
• RQ4 2次元代数に関する結果は、Jordan代数およびG-結合的代数の既知の分類をどのように回復または再導出できるか？
• RQ5 2次元可換Hom-結合的代数の集合の幾何的構造は何か？また、行列式条件によってどのように符号化されるか？

主な発見

• 特徴量2における𝕂上での2次元代数の分類は、Fano平面構造を用いたGL(2,𝔽₂) ≅ Σ₃の作用による軌道解析によって達成される。
• 代数A⁴_{1,β₄}はβ₄ ≠ ±2のときHom-結合的であり、非自明な対角自己準同型fを持つ。β₄ ≠ 2または-2のとき非結合的である。
• 代数A⁵₀は、fが𝕂{e₁}に写像するときHom-結合的であり、非自明な解が存在するのはα₂ = ±1のときであり、このとき2つの異なる非可換Hom-結合的代数が得られる。
• 可換Hom-結合的代数に関しては、H(A) = 0が𝕂⁶内の超曲面を定める。H(A⁶) = 0の明示的根が与えられる。
• 代数A⁹からA¹⁷まではすべてHom-結合的であり、i = 9から17の間でH(Aⁱ) = 0を満たす。
• 代数A⁷およびA⁸はHom-結合的でない。H(A⁷) = -1/4、H(A⁸) = -9/64であり、両者とも非ゼロである。