[論文レビュー] 2-Kac-Moody algebras

Raphaël Rouquier|ArXiv.org|Dec 30, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 462

ひとこと要約

本稿は、任意のカク・ムーディ代数 ${\mathfrak{g}}$ の整数形式を2-category ${\mathfrak{A}}({\mathfrak{g}})$ でカテゴリファイケーションする構成を行い、以前の $\mathfrak{sl}_2$ に関する研究を一般化する。この2カテゴリカル表現と ${\mathfrak{sl}}$-カテゴリファイケーションとの間に対応関係を確立し、可解な2表現がニル・ヘッケ代数と次数構造を用いた量子グループのカテゴリファイケーションに正確に一致することを示す。

ABSTRACT

We construct a 2-category associated with a Kac-Moody algebra and we study its 2-representations. This generalizes earlier work with Chuang for type A. We relate categorifications relying on K_0 properties and 2-representations.

研究の動機と目的

• 任意のカク・ムーディ代数 ${\mathfrak{g}}$ の整数形式 $U_{\mathbf{Z}}({\mathfrak{g}})$ をカテゴリファイケーションする2カテゴリカル ${\mathfrak{A}}({\mathfrak{g}})$ を定義すること。
• チュアン＝ルーケィエの ${\mathfrak{sl}}_2$-カテゴリファイケーション枠組みを、任意のカク・ムーディ代数へ一般化すること。
• ${\mathfrak{A}}({\mathfrak{g}})$ の2表現と ${\mathfrak{sl}}$-カテゴリファイケーションとの間の明確な対応関係を確立すること、可解表現を含む。
• ${\mathfrak{A}}({\mathfrak{g}})$ のデカテゴリファイケーションが、カク・ムーディ代数の整数形式を回復することを示すこと。
• 幾何的表現理論やモジュライ空間との関連を有する、高次表現理論のカテゴリカル枠組みを提供すること。

提案手法

• カルタン行列に関連するニル・ヘッケ代数に基づく生成子と関係式を用いて、2カテゴリカル ${\mathfrak{A}}({\mathfrak{g}})$ を構成する。
• $k[u,v]$-値のエルミート行列を用いたヘッケ代数の平坦な族を用い、フィルトレーションを施し、その関連する次数代数を多項式代数とニル・ヘッケ代数のワルプ品を用いて表現する。
• 次数構造を導入することで、デカテゴリファイケーションによる量子グループのカテゴリファイケーションを実現する。
• 重みカテゴリ ${\mathcal{V}}_\lambda$ への分解を用いて2表現を定義し、重みを保存する関手 $E_i$, $F_i$ がべき零性および可逆性条件を満たすようにする。
• $E_i$, $F_i$ 及びその自己準同型 $X_i$, $T_i$ を用いて双随伴性およびブレード群作用を確立する。
• ヘッケ代数のPBW性質および、スペクトル分解を介した非退化的アフィンヘッケ代数とニル・ヘッケ代数の同型性に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のカク・ムーディ代数の整数形式をカテゴリファイケーションする2カテゴリカルをどのように構成できるか？
• RQ2 この2カテゴリカルの2表現が ${\mathfrak{sl}}$-カテゴリファイケーションに対応するための条件は何か？
• RQ3 $E_i$, $F_i$ 及びその自己準同型 $X_i$, $T_i$ は、カテゴリカルレベルでカク・ムーディ代数の構造をどのように記述するか？
• RQ4 ${\mathfrak{A}}({\mathfrak{g}})$ の2表現と ${\mathfrak{g}}$ の可解表現との間の正確な関係は何か？
• RQ5 2カテゴリカル上の次数構造は、どのようにして量子グループのカテゴリファイケーションを導くか？

主な発見

• ${\mathfrak{A}}({\mathfrak{g}})$ は、任意のカク・ムーディ代数 ${\mathfrak{g}}$ の整数形式 $U_{\mathbf{Z}}({\mathfrak{g}})$ をカテゴリファイケーションする。デカテゴリファイケーションにより元の代数が回復される。
• ${\mathfrak{A}}({\mathfrak{g}})$ の2表現が三角的または完全な圏 ${\mathcal{V}}$ 上に存在するとき、$U_{\mathbf{Z}}({\mathfrak{g}})$ が $K_0({\mathcal{V}})$ 上に作用することが保証され、カテゴリファイケーションの性質が裏付けられる。
• 本構成は、[ChRou]における ${\mathfrak{sl}}_2$-カテゴリファイケーションを、カルタン行列に関連するニル・ヘッケ代数を用いて任意のカク・ムーディ代数へ一般化する。
• ${\mathfrak{A}}({\mathfrak{g}})$ の可解2表現は、重み $\lambda$ と余根 $\alpha_s^\vee$ に依存する特定の準同型 $\sigma_{ss}$ の可逆性条件によって特徴づけられる。
• ${\mathcal{V}}$ 上に ${\mathfrak{sl}}_{I_q}$-カテゴリファイケーションが存在するとき、${\mathfrak{A}}_{\mathbf{Z}}({\mathfrak{sl}}_{I_q}) \otimes k$ の2表現が誘導され、逆にその逆も成り立つ。これによりカテゴリカル同値性が確立される。
• 使用されたヘッケ代数はフィルトレーションを備え、PBW性質を満たす。その関連する次数代数は多項式代数とニル・ヘッケ代数のワルプ品であり、必要な代数的構造が保証される。