[論文レビュー] 2-Local derivations on matrix rings over associative rings

Shavkat Ayupov, Farhodjon Arzikulov|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、可換な結合的環 $\Re$ 上の行列環 $M_n(\Re)$ における任意の内部 2-局所微分作用素が内部微分作用素であることを確立し、また $\Re$ 上の任意の微分作用素が $M_n(\Re)$ 上に拡張可能であることを示している。これらの結果は、従来の 2-局所微分作用素に関する知見を可換な行列環へ一般化し、非単位的かつ非分離的状況における微分作用素の基本的拡張定理を提供する。

ABSTRACT

In the present paper it is proved that every inner 2-local derivation on the matrix ring $M_n(\Re)$ of $n imes n$ matrices over a commutative associative ring $\Re$ is an inner derivation. Also, it is proved that, every derivation on an associative ring $\Re$ has an extension to a derivation on the matrix ring $M_n(\Re)$ of $n imes n$ matrices over $\Re$.

研究の動機と目的

• 可換結合的環上の行列環における内部 2-局所微分作用素が内部微分作用素であるかどうかを特定すること。
• 結合的環 $\Re$ 上の微分作用素が行列環 $M_n(\Re)$ に拡張可能かどうかを調査すること。
• 従来の 2-局所微分作用素に関する結果を、有限次元およびヒルベルト空間の設定から一般の可換結合的環へ一般化すること。
• 2-局所微分作用素が加法的であり、したがって微分作用素である条件を確立すること。
• 非単位的かつ非分離的代数的設定における内部 2-局所微分作用素の構造的性質を調査すること。

提案手法

• 内部 2-局所微分作用素を、任意の $x,y$ に対して $\Delta(x) = [a,x]$ かつ $\Delta(y) = [a,y]$ を満たす $a \in M_n(\Re)$ が存在するような写像 $\Delta: M_n(\Re) \to M_n(\Re)$ として定義する。
• 行列単位 $\{e_{i,j}\}$ を用いて要素を分解し、$\Delta$ が基本行列に作用する様子を分析する。
• $\Delta$ が $e_{i,j}$ および $\sum e_{k,k+1}$ に作用する様子から、行列成分の恒等式に関する補題を用いて、関連する交換子の整合性を示す。
• まず $M_2(\Re)$ に、次に $M_4(\Re)$ に、と段階的に拡張することで、$\Re$ から $M_n(\Re)$ への微分作用素の拡張を構成する。この際、$M_n(\Re)$ への射影 $e = \sum_{i=1}^n e_{i,i}$ を用いた制限を用いる。
• 帰納法と部分環拡張技術を用い、$\bar{M}_2(\Re) \cong M_2(\Re)$ 上の微分作用素が $M_n(\Re)$ 上に拡張可能であることを示す。
• 環 $\Re$ が2つの元で生成され、かつ $\Delta$ が加法的であるならば、生成子の多項式における交換子構造を用いて $\Delta$ が内部微分作用素であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換結合的環 $\Re$ 上の行列環 $M_n(\Re)$ における内部 2-局所微分作用素は、すべて内部微分作用素であるか？
• RQ2 結合的環 $\Re$ 上の任意の微分作用素は、$M_n(\Re)$ 上に拡張可能か？
• RQ3 結合的環 $\Re$ 上の 2-局所微分作用素が加法的であり、したがって微分作用素であるための条件は何か？
• RQ4 非分離的または無限次元の設定において、$\Re$ から $M_n(\Re)$ への微分作用素の拡張は成立するか？
• RQ5 2つの元で生成される環上における内部 2-局所微分作用素が内部微分作用素であることを保証する構造的制約は何か？

主な発見

• 可換結合的環 $\Re$ に対して、$M_n(\Re)$ 上の任意の内部 2-局所微分作用素は内部微分作用素である。
• 結合的環 $\Re$ 上の任意の微分作用素は、$M_2(\Re)$、$M_4(\Re)$ などを経て段階的に拡張することで、$M_n(\Re)$ 上に拡張可能であることが示された。
• 微分作用素の拡張は、$M_{2^k}(\Re)$ 上のより大きな微分作用素を射影 $e = \sum_{i=1}^n e_{i,i}$ を用いて $M_n(\Re)$ に制限することによって達成される。
• 環 $\Re$ が2つの元で生成される場合、内部 2-局所微分作用素 $\Delta$ が加法的であれば、$\Delta$ は内部微分作用素である。
• $n=1$ の場合、$U_2(\mathbb{C})$ における反例により、内部 2-局所微分作用素が加法的でないことがあることが示された。
• フォン・ノイマン代数における射影のラティスが非原子的であることは、$S(\mathcal{M})$ 上に微分作用素でない 2-局所微分作用素が存在することを示しており、拡張性質における制限を示唆している。