[論文レビュー] 2 MORI CONTRACTIONS OF MAXIMAL LENGTH

Carla Novelli|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、最大長のモーリー・ファイバー空間に対して、Cho-Miyaoka-Shepherd-Barron定理の相対的バージョンを確立し、そのようなファイバー空間が射影バンドルに双有理同型であることを証明する。長さが最大（l(R) = d+1）であるとき、ファイバー空間は射影バンドルであるか、双有理変換を施すことで射影バンドルになることが示され、Fano多様体に関する古典的結果が特異的かつ非同次元的ファイバー空間へ一般化される。

ABSTRACT

International audience

研究の動機と目的

• モーリー・ファイバー空間の文脈において、相対的かつ非同次元的ファイバー空間へのCho-Miyaoka-Shepherd-Barron定理の一般化を図ること。
• 最大の極小射長を持つファイバー空間における射影空間の退化構造を調査すること。
• 最大長のファイバー空間が、同次元性にかかわらず射影バンドルに双有理同型であることを証明すること。
• 最大長の除法的収縮における例外的 divisor の正規化の正確な双有理的記述を提供すること。
• 次元制約の下で、長さ l(R) = n−m+1 であるファイバー空間が同次元的であるという予想を支持する証拠を提示すること。

提案手法

• モーリー収縮におけるファイバーおよび例外的部分集合の次元を分析するために、Ionescu–Wiśniewski の不等式を用いる。
• 長さ条件 l(R) = d+1 を検証するために、 bend-and-break 技法および有理曲線の変形論を適用する。
• アーベル的でないカーティエ線形系の代わりに数値的条件を用いて、相対的 Kobayashi–Ochiai 定理の構成を行う。
• 特異点の解消および剛性補題を用いて、ファイバー空間が同次元的になる双有理モデルを構成する。
• Leray のスペクトル系列およびコhomological 論法を用いて、射影バンドル構造を誘導する相対的アメーブルカーティエ線形系の存在を証明する。
• 局所系およびホッジ論的道具を用いて、底空間にやや弱い位相的仮定が成り立つ場合、ファイバー空間が局所的にスクリューであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モーリー・ファイバー空間が最大長であるとき、どのような条件下で射影バンドルに双有理同型となるか？
• RQ2 相対的 Cho–Miyaoka–Shepherd-Barron 定理において、同次元性の条件を緩和することは可能か？
• RQ3 最大長の除法的収縮における例外的 divisor の正規化の構造は何か？
• RQ4 底空間の次元が m であるとき、長さ l(R) = n−m+1 のファイバー空間は、必ず同次元のファイバーを持つのか？
• RQ5 相対的 Kobayashi–Ochiai 定理において、相対的超平面線形系の存在を数値的条件に置き換えることはどの程度可能か？

主な発見

• 長さ l(R) = d+1 のモーリー・ファイバー空間は、同次元性にかかわらず射影バンドルに双有理同型である。
• ファイバー空間が同次元的である場合、それは全体的に射影バンドルであり、反 canonical 線形系がグローバルな超平面類を誘導する。
• 非同次元的ファイバー空間の場合、底空間および全空間の特異点を解消することで、双有理変換後にファイバー空間が射影バンドルになるモデルが存在する。
• 最大長の除法的収縮における例外的 divisor の正規化は、codimension 1 において射影バンドルである。
• 底空間の3次コhomology が torsion-free であるとき、ファイバー空間は同次元的領域のZariski開近傍上で局所的にスクリューである。
• この結果は、n ≥ 2m−1 の下で、長さ l(R) = n−m+1 であるファイバー空間が同次元的であるという予想を支持する。