[論文レビュー] (2^n,2^n,2^n,1)-relative difference sets and their representations

Yue Zhou|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ℤ₄ⁿ における ℤ₂ⁿ に関する (2^n, 2^n, 2^n, 1)-相対的差集合が、すべての非ゼロ a に対して f(x+a) + f(x) + xa が置換であるような、𝔽₂ⁿ[x] に属する平面関数 f(x) に一致することを確立している。対応する射影平面は、f が平面的である場合にかつその場合に限り、前半体平面である。本稿では、このような関数を特徴づけ、特に二次関数および非二次関数の場合の完全分類を提供している。

ABSTRACT

We show that every $(2^n,2^n,2^n,1)$-relative difference set $D$ in $\Z_4^n$ relative to $\Z_2^n$ can be represented by a polynomial $f(x)\in \F_{2^n}[x]$, where $f(x+a)+f(x)+xa$ is a permutation for each nonzero $a$. We call such an $f$ a planar function on $\F_{2^n}$. The projective plane $Π$ obtained from $D$ in the way of Ganley and Spence \cite{ganley_relative_1975} is coordinatized, and we obtain necessary and sufficient conditions of $Π$ to be a presemifield plane. We also prove that a function $f$ on $\F_{2^n}$ with exactly two elements in its image set and $f(0)=0$ is planar, if and only if, $f(x+y)=f(x)+f(y)$ for any $x,y\in\F_{2^n}$.

研究の動機と目的

• ℤ₄ⁿ における ℤ₂ⁿ に関する (2^n, 2^n, 2^n, 1)-相対的差集合を、𝔽₂ⁿ 上の多項式表現を用いて特徴づける。
• このような集合から構成される射影平面が前半体平面であるための必要十分条件を特定する。
• 特に f(0) = 0 かつちょうど2つの像値を持つ関数について、𝔽₂ⁿ 上の平面関数を分類する。
• 平面関数とシフトされたバント関数の関係を調査し、特にこのような RDS の構成の文脈において検討する。

提案手法

• ℤ₄ⁿ における相対的差集合 D を、すべての非ゼロ a ∈ 𝔽₂ⁿ に対して f(x+a) + f(x) + xa が置換であるような f(x) ∈ 𝔽₂ⁿ[x] として多項式で表現する。
• ガンレー＝スペンスの構成を用いて、D から得られる射影平面 Π を平面三重環を用いて座標化する。
• 𝔽₂ⁿ 上の平面関数の定義を適用する：f が平面的であるとは、すべての a ≠ 0 に対して x ↦ f(x+a) - f(x) が置換であることを意味する。
• デムボウキ＝オストラム多項式を用いて、乗法演算 x ⋆ y = ½(f(x+y) - f(x) - f(y)) の代数的構造を分析することで、得られる平面の構造を特徴づける。
• 𝔽₂ⁿ 上の置換 Π を用いてシフトされたバント関数を構成し、Π が置換であるとき f(x,y) = ⟨x, Π(y)⟩ + g(y) がシフトされたバント関数であることを証明する。
• 非二次的シフトされたバント関数の存在を調査し、問題2を提示する：成分関数が少なくとも1つが非二次的であるような、m 個の成分関数がシフトされたバント関数を満たす最大の m を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℤ₄ⁿ における ℤ₂ⁿ に関する (2^n, 2^n, 2^n, 1)-RDS から構成される射影平面 Π が前半体平面であるのはいつか？
• RQ2 すべての非ゼロ a ∈ 𝔽₂ⁿ に対して f(x+a) + f(x) + xa が置換であるような、f(x) ∈ 𝔽₂ⁿ[x] に属する多項式関数 f はどのようなものか？
• RQ3 ちょうど2つの像値を持ち、f(0) = 0 である関数 f が平面的であるのは、f が加法的（つまり、すべての x,y ∈ 𝔽₂ⁿ に対して f(x+y) = f(x) + f(y)）である場合にかつその場合に限るか？
• RQ4 シフトされたバント関数の構造は何か？ また、それらは非二次的平面関数を構成するために用いることができるか？
• RQ5 m 個の成分関数が、そのインデックス集合に関してシフトされたバント関数を満たす最大の m は何か？ また、少なくとも1つは非二次的であってもよいか？

主な発見

• ℤ₄ⁿ における ℤ₂ⁿ に関する (2^n, 2^n, 2^n, 1)-RDS は、すべての非ゼロ a ∈ 𝔽₂ⁿ に対して f(x+a) + f(x) + xa が置換であるような、𝔽₂ⁿ[x] に属する平面関数 f(x) に由来する。
• このような集合から構成される射影平面 Π は、対応する関数 f が平面的である場合にかつその場合に限り、前半体平面である。
• ちょうど2つの像値を持ち、f(0) = 0 である関数 f が平面的であるのは、f が加法的（つまり、すべての x,y ∈ 𝔽₂ⁿ に対して f(x+y) = f(x) + f(y)）である場合にかつその場合に限る。
• 任意の置換 Π と任意の関数 g に対して、f(x,y) = ⟨x, Π(y)⟩ + g(y) はシフトされたバント関数を生成する。
• 非二次的シフトされたバント関数は存在する。例えば、定理5.1の構成は、Π が置換であるとき、このような関数を生成する。
• 本稿では、n が十分に大きい場合、2より大きい次数のシフトされたバント関数が存在することを示し、m 個の成分関数がシフトされたバント関数を満たす最大の m についての未解決問題を提示している。