[論文レビュー] 2-stack pushall sortable permutations

Adeline Pierrot, Dominique Rossin|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、2スタックソート可能順列の制限付き部分クラスである2スタックプッシュオール可能順列を導入し、サイズnの与えられた順列が2スタックプッシュオール可能であるかどうかを決定する最適なO(n²)アルゴリズムを提示する。この手法は、順列の二色化モデルを用いて有効なソーティング手順を特徴付け、⊖-分解と動的計画法を活用して有効な色分けを効率的に計算することで、より広範な2スタックソーティング問題の主要な部分問題に対して多項式時間解を提供する。

ABSTRACT

In the 60's, Knuth introduced stack-sorting and serial compositions of stacks. In particular, one significant question arise out of the work of Knuth: how to decide efficiently if a given permutation is sortable with 2 stacks in series? Whether this problem is polynomial or NP-complete is still unanswered yet. In this article we introduce 2-stack pushall permutations which form a subclass of 2-stack sortable permutations and show that these two classes are closely related. Moreover, we give an optimal O(n^2) algorithm to decide if a given permutation of size n is 2-stack pushall sortable and describe all its sortings. This result is a step to the solve the general 2-stack sorting problem in polynomial time.

研究の動機と目的

• 2スタックソート可能順列の新しい部分クラス、すなわち2スタックプッシュオール可能順列を定義・研究し、一般の2スタックソーティング問題を単純化すること。
• 2スタックプッシュオールソート可能かどうかを決定する多項式時間アルゴリズムを提供し、組合せアルゴリズム分野における長年の未解決問題に取り組むこと。
• 順列図の二色化モデルを用いて、与えられた順列に対するすべての有効なソーティング手順を特徴付けること。
• すべての有効な色分けの線形時間表現を確立し、効率的な列挙と決定を可能にすること。
• 一般の2スタックソーティング問題を解く基盤を築くために、取り扱いやすく構造的に豊かな変種を解決すること。

提案手法

• 本稿では、2スタックプッシュオールソーティングを、順列の点（赤と緑）の二色化としてモデル化し、各色分けが有効なプッシュおよびポップ操作の順序に対応する。
• 有効な色分けを保証するため、4つの禁止パターン（132、213、2/13、1X2）を回避する必要があると定義する。
• 順列を⊖-可分解ブロックに分解する⊖-分解を線形時間で計算し、再帰的処理を可能にする。
• 動的計画法とパターン回避を用いて、各⊖-可分解ブロックの有効な色分けの集合を再帰的に計算する。
• 色分けの積構成を用いてブロックの色分けを合成し、全順列の色分けとブロック色分けのタプルの間の双対性を活用する。
• 各ブロックを処理し、結果を蓄積することで、全体のアルゴリズムがO(n²)時間で実行され、総作業量がO(n²)で抑えられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2スタックソーティングの制限付きバージョン、すなわち2スタックプッシュオールソーティングは多項式時間で決定可能か？
• RQ2 2スタックプッシュオール可能順列を特徴付ける構造的性質は何か？
• RQ3 与えられた順列に対して、すべての有効なソーティング手順を効率的に列挙する方法は何か？
• RQ4 すべての有効な2スタックプッシュオールソーティング操作を捉える組合せ的モデル（例：二色化）は存在するか？
• RQ5 この制限付きモデルは、一般の2スタックソーティング問題を解くための第一歩として機能できるか？

主な発見

• 本稿では、2スタックプッシュオール可能順列が、二色化モデルにおける4つの特定のパターン（132、213、2/13、1X2）の回避によって特徴付けられることを確立した。
• サイズnの順列が2スタックプッシュオール可能かどうかを決定する最適なO(n²)アルゴリズムを提示し、アルゴリズムはすべての有効な色分けの線形記述を返す。
• アルゴリズムは⊖-分解を用いて順列を可分解ブロックに分割し、有効な色分けの効率的再帰的処理と合成を可能にする。
• サイズ2nの順列に対して、少なくとも2n−3個の有効な色分けを持つ単純順列の族を提示し、自明でないケースにおいても線形サイズの解集合が存在することを示した。
• アルゴリズムの計算量が最適であることが証明されており、出力記述長と処理時間の両方が入力サイズと一致する。
• この結果は、数十年にわたり未解決のままであった一般の2スタックソーティング問題を解く上で、重要な一歩を提供する。